Номер 3, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите уравнение:

1) $\frac{3}{(x-3)^2} + \frac{1}{(x+3)^2} = \frac{4}{x^2-9};$

2) $\frac{3y^2+63}{49-y^2} + \frac{y+7}{y-7} = \frac{2}{y+7};$

3) $\frac{x^2-6x}{x-8} = \frac{10x-x^2}{x-8}.$

1) $\frac{3}{(x - 3)^2} + \frac{1}{(x + 3)^2} = \frac{4}{x^2 - 9}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$(x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$(x + 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

$\frac{3}{(x - 3)^2} + \frac{1}{(x + 3)^2} = \frac{4}{(x - 3)(x + 3)}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 3)^2(x + 3)^2$:

$\frac{3(x + 3)^2 + 1(x - 3)^2}{(x - 3)^2(x + 3)^2} = \frac{4(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)^2}$

Так как $x \neq 3$ и $x \neq -3$, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$3(x + 3)^2 + (x - 3)^2 = 4(x - 3)(x + 3)$

Раскроем скобки:

$3(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = 4(x^2 - 9)$

$3x^2 + 18x + 27 + x^2 - 6x + 9 = 4x^2 - 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 + 12x + 36 = 4x^2 - 36$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$4x^2 - 4x^2 + 12x = -36 - 36$

$12x = -72$

$x = \frac{-72}{12}$

$x = -6$

Корень $x = -6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -6

2) $\frac{3y^2 + 63}{49 - y^2} + \frac{y + 7}{y - 7} = \frac{2}{y + 7}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$49 - y^2 \neq 0 \Rightarrow (7 - y)(7 + y) \neq 0 \Rightarrow y \neq 7$ и $y \neq -7$.

$y - 7 \neq 0 \Rightarrow y \neq 7$

$y + 7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$

ОДЗ: $y \in (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.

Преобразуем знаменатели для приведения к общему виду: $49 - y^2 = (7 - y)(7 + y) = -(y - 7)(y + 7)$.

$\frac{3y^2 + 63}{-(y - 7)(y + 7)} + \frac{y + 7}{y - 7} = \frac{2}{y + 7}$

$-\frac{3y^2 + 63}{(y - 7)(y + 7)} + \frac{y + 7}{y - 7} = \frac{2}{y + 7}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(y - 7)(y + 7)$:

$\frac{-(3y^2 + 63) + (y + 7)(y + 7)}{(y - 7)(y + 7)} = \frac{2(y - 7)}{(y - 7)(y + 7)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(y - 7)(y + 7)$:

$-(3y^2 + 63) + (y + 7)^2 = 2(y - 7)$

Раскроем скобки:

$-3y^2 - 63 + y^2 + 14y + 49 = 2y - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$-2y^2 + 14y - 14 = 2y - 14$

Перенесем все члены в левую часть:

$-2y^2 + 14y - 2y - 14 + 14 = 0$

$-2y^2 + 12y = 0$

Вынесем общий множитель $-2y$ за скобки:

$-2y(y - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$-2y = 0 \Rightarrow y_1 = 0$

$y - 6 = 0 \Rightarrow y_2 = 6$

Оба корня $y = 0$ и $y = 6$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; 6

3) $\frac{x^2 - 6x}{x - 8} = \frac{10x - x^2}{x - 8}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 8) \cup (8; +\infty)$.

Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их числители при условии, что $x \neq 8$.

$x^2 - 6x = 10x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - 6x - 10x + x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x - 8 = 0 \Rightarrow x_2 = 8$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 8$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = 8$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x=8$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 0