Номер 3, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите уравнение:

1) $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{2}{(x + 1)^2} = \frac{5}{(x - 1)^2}$;

2) $\frac{2y^2 + 42}{36 - y^2} + \frac{y + 6}{y - 6} = \frac{1}{y + 6}$;

3) $\frac{x^2 + 3x}{x + 1} = \frac{x - x^2}{x + 1}$.

1) $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x-1)^2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$(x+1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

$(x-1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Уравнение принимает вид: $\frac{3}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x-1)^2}$.

Общий знаменатель: $(x-1)^2(x+1)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$3(x-1)(x+1) + 2(x-1)^2 = 5(x+1)^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3(x^2 - 1) + 2(x^2 - 2x + 1) = 5(x^2 + 2x + 1)$

$3x^2 - 3 + 2x^2 - 4x + 2 = 5x^2 + 10x + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x^2 - 4x - 1 = 5x^2 + 10x + 5$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$5x^2 - 5x^2 - 4x - 10x = 5 + 1$

$-14x = 6$

$x = -\frac{6}{14} = -\frac{3}{7}$

Найденный корень $x = -3/7$ удовлетворяет ОДЗ, так как он не равен 1 или -1.

Ответ: $-\frac{3}{7}$.

2) $\frac{2y^2 + 42}{36 - y^2} + \frac{y+6}{y-6} = \frac{1}{y+6}$

Определим ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$36 - y^2 \neq 0 \Rightarrow (6-y)(6+y) \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ и $y \neq -6$.

$y-6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$.

$y+6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$.

ОДЗ: $y \neq \pm 6$.

Преобразуем знаменатели, чтобы привести к общему виду: $36 - y^2 = -(y^2 - 36) = -(y-6)(y+6)$ и $y-6 = -(6-y)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{2y^2 + 42}{-(y-6)(y+6)} + \frac{y+6}{y-6} = \frac{1}{y+6}$

$-\frac{2y^2 + 42}{(y-6)(y+6)} + \frac{y+6}{y-6} = \frac{1}{y+6}$

Общий знаменатель: $(y-6)(y+6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$-(2y^2 + 42) + (y+6)(y+6) = 1(y-6)$

Раскроем скобки:

$-2y^2 - 42 + y^2 + 12y + 36 = y - 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-y^2 + 12y - 6 = y - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$-y^2 + 12y - y - 6 + 6 = 0$

$-y^2 + 11y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(-y + 11) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$y_1 = 0$

$-y_2 + 11 = 0 \Rightarrow y_2 = 11$

Оба корня ($0$ и $11$) удовлетворяют ОДЗ ($y \neq \pm 6$).

Ответ: 0; 11.

3) $\frac{x^2 + 3x}{x+1} = \frac{x-x^2}{x+1}$

Определим ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$x^2 + 3x = x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x^2 + 3x - x = 0$

$2x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x+1) = 0$

Это уравнение дает два возможных корня:

$2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x+1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 0.