Номер 1, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Среди данных пар уравнений укажите пару неравносильных уравнений.

1) $|x| = -x$ и $x^2 = -4$

2) $\frac{x^2 - 1}{x} = 0$ и $x^2 - 1 = 0$

3) $4x + 8 = 0$ и $0,3x = -0,6$

4) $(x - 9)(x^2 + 9) = 0$ и $x - 9 = 0$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Чтобы найти пару неравносильных уравнений, нужно определить множество решений для каждого уравнения в каждой паре и сравнить их.

1) $|x| = -x$ и $x^2 = -4$

Решим первое уравнение: $|x| = -x$.
По определению модуля, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $x \le 0$. Таким образом, множество решений этого уравнения — это числовой луч $(-\infty, 0]$.

Решим второе уравнение: $x^2 = -4$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Так как множество решений первого уравнения $(-\infty, 0]$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\emptyset$, данная пара уравнений является неравносильной.

2) $\frac{x^2 - 1}{x} = 0$ и $x^2 - 1 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 1}{x} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$
Из первого уравнения системы находим $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ne 0$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 1 = 0$.
$x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

3) $4x + 8 = 0$ и $0,3x = -0,6$

Решим первое уравнение: $4x + 8 = 0$.
$4x = -8$
$x = -2$
Множество решений: $\{-2\}$.

Решим второе уравнение: $0,3x = -0,6$.
$x = \frac{-0,6}{0,3}$
$x = -2$
Множество решений: $\{-2\}$.

Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

4) $(x - 9)(x^2 + 9) = 0$ и $x - 9 = 0$

Решим первое уравнение: $(x - 9)(x^2 + 9) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 9 = 0 \implies x = 9$.
$x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = -9$. Это уравнение не имеет действительных решений.
Единственное решение первого уравнения — $x = 9$. Множество решений: $\{9\}$.

Решим второе уравнение: $x - 9 = 0$.
$x = 9$.
Множество решений: $\{9\}$.

Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Единственная пара, в которой множества решений уравнений не совпадают, — это пара под номером 1. Таким образом, это пара неравносильных уравнений.

Ответ: 1