Номер 4, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Первая труба наполняет бак объёмом 570 л, а вторая труба — бак объёмом 530 л. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды меньше, чем другая. Трубы начинают наполнять пустые баки одновременно. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если баки наполняются за одинаковое время?

Для решения задачи введем переменные, описывающие производительность труб.

Пусть $p_1$ — производительность первой трубы в литрах в минуту (л/мин), а $p_2$ — производительность второй трубы (л/мин).

Объем первого бака, который наполняет первая труба, составляет $V_1 = 570$ л.

Объем второго бака, который наполняет вторая труба, составляет $V_2 = 530$ л.

Время, необходимое для наполнения бака, можно найти по формуле $t = \frac{V}{p}$, где $V$ — объем бака, а $p$ — производительность трубы.

Время наполнения первого бака: $t_1 = \frac{V_1}{p_1} = \frac{570}{p_1}$.

Время наполнения второго бака: $t_2 = \frac{V_2}{p_2} = \frac{530}{p_2}$.

Согласно условию, баки наполняются за одинаковое время, значит, $t_1 = t_2$. Исходя из этого, мы можем составить первое уравнение: $$ \frac{570}{p_1} = \frac{530}{p_2} $$

В условии также сказано, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды меньше, чем другая. Так как первая труба наполняет бак большего объема ($570 \text{ л} > 530 \text{ л}$) за то же самое время, ее производительность должна быть выше, чем у второй трубы. Таким образом, $p_1 > p_2$.

Это позволяет нам составить второе уравнение, связывающее производительности двух труб: $$ p_1 = p_2 + 4 $$ Выразим $p_2$ через $p_1$: $$ p_2 = p_1 - 4 $$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} \frac{570}{p_1} = \frac{530}{p_2} \\ p_2 = p_1 - 4 \end{cases} $$

Подставим выражение для $p_2$ из второго уравнения в первое: $$ \frac{570}{p_1} = \frac{530}{p_1 - 4} $$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 570 \cdot (p_1 - 4) = 530 \cdot p_1 $$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $$ 570p_1 - 570 \cdot 4 = 530p_1 $$ $$ 570p_1 - 2280 = 530p_1 $$

Соберем все члены с переменной $p_1$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой: $$ 570p_1 - 530p_1 = 2280 $$ $$ 40p_1 = 2280 $$

Теперь найдем $p_1$: $$ p_1 = \frac{2280}{40} = \frac{228}{4} = 57 $$

Следовательно, первая труба пропускает 57 литров воды в минуту.

Проверим полученный результат. Если $p_1 = 57$ л/мин, то $p_2 = 57 - 4 = 53$ л/мин.

Время наполнения первого бака: $t_1 = \frac{570}{57} = 10$ минут.

Время наполнения второго бака: $t_2 = \frac{530}{53} = 10$ минут.

Время наполнения одинаково, что соответствует условию задачи.

Ответ: 57