Номер 1, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Среди данных пар уравнений укажите пару неравносильных уравнений.

1) $4x = 12$ и $x + 3 = 6$

2) $x^2 = -16$ и $\frac{7}{x} = 0$

3) $(x - 3)(x + 4) = 0$ и $x - 3 = 0$

4) $(x - 3)(x^2 + 4) = 0$ и $x - 3 = 0$

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества корней (решений). Если уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными. Чтобы найти пару неравносильных уравнений, проанализируем каждую предложенную пару.

1) $4x = 12$ и $x + 3 = 6$

Решим первое уравнение: $4x = 12$. Разделив обе части на 4, получим $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Решим второе уравнение: $x + 3 = 6$. Вычтем 3 из обеих частей, получим $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Так как множества корней обоих уравнений совпадают, эти уравнения являются равносильными.

2) $x^2 = -16$ и $\frac{7}{x} = 0$

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 = -16$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Множество корней пустое ($\emptyset$).

Рассмотрим второе уравнение: $\frac{7}{x} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 7, поэтому уравнение не имеет корней. Множество корней также пустое ($\emptyset$).

Так как оба уравнения не имеют корней, их множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

3) $(x - 3)(x + 4) = 0$ и $x - 3 = 0$

Решим первое уравнение: $(x - 3)(x + 4) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x - 3 = 0$ или $x + 4 = 0$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Множество корней: $\{-4, 3\}$.

Решим второе уравнение: $x - 3 = 0$. Его единственный корень $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Множества корней $\{-4, 3\}$ и $\{3\}$ не совпадают. Следовательно, эти уравнения не являются равносильными.

4) $(x - 3)(x^2 + 4) = 0$ и $x - 3 = 0$

Решим первое уравнение: $(x - 3)(x^2 + 4) = 0$. Произведение равно нулю, если $x - 3 = 0$ или $x^2 + 4 = 0$. Первое уравнение дает корень $x = 3$. Второе уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней. Таким образом, у первого уравнения есть только один корень: $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Второе уравнение $x - 3 = 0$ также имеет единственный корень $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Множества корней обоих уравнений совпадают, поэтому уравнения равносильны.

Вывод: единственная пара неравносильных уравнений представлена в пункте 3.

Ответ: 3.