Номер 4, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите значение выражения

$\frac{20a}{9a+2} : \left(\frac{a-2}{9a+2} - \frac{a+2}{9a-2}\right)$, если $a = \frac{1}{18}$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, выполнив действия в скобках, а затем деление.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $ (9a+2)(9a-2) $.

$ \frac{a-2}{9a+2} - \frac{a+2}{9a-2} = \frac{(a-2)(9a-2) - (a+2)(9a+2)}{(9a+2)(9a-2)} $

2. Раскроем скобки в числителе. Знаменатель свернем по формуле разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $.

Числитель:

$ (a-2)(9a-2) - (a+2)(9a+2) = (9a^2 - 2a - 18a + 4) - (9a^2 + 2a + 18a + 4) $

$ = (9a^2 - 20a + 4) - (9a^2 + 20a + 4) = 9a^2 - 20a + 4 - 9a^2 - 20a - 4 = -40a $

Знаменатель:

$ (9a+2)(9a-2) = (9a)^2 - 2^2 = 81a^2 - 4 $

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{-40a}{81a^2 - 4} $.

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{20a}{9a+2} : \frac{-40a}{81a^2 - 4} = \frac{20a}{9a+2} \cdot \frac{81a^2 - 4}{-40a} $

Разложим $ 81a^2 - 4 $ обратно на множители, чтобы сократить дробь:

$ \frac{20a}{9a+2} \cdot \frac{(9a-2)(9a+2)}{-40a} $

Сократим общие множители $ (9a+2) $ и $ 20a $:

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{(9a-2)}{-2} = -\frac{9a-2}{2} = \frac{2-9a}{2} $

4. Подставим в полученное выражение значение $ a = \frac{1}{18} $:

$ \frac{2 - 9 \cdot \frac{1}{18}}{2} = \frac{2 - \frac{9}{18}}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} $

Вычислим значение в числителе:

$ 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $

Подставим результат обратно в дробь:

$ \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} = 0,75 $

Ответ: $ 0,75 $.