Номер 3, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Докажите тождество:

$\left(\frac{2x}{x^2 - 12x + 36} - \frac{x}{x - 6}\right) : \frac{8 - x}{36 - x^2} + \frac{12x}{x - 6} = -x.$

Для доказательства тождества необходимо упростить левую часть выражения и показать, что она равна правой части. Выполним преобразования по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках:
$\frac{2x}{x^2 - 12x + 36} - \frac{x}{x-6}$
Заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом: $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-6)^2$:
$\frac{2x}{(x-6)^2} - \frac{x(x-6)}{(x-6)(x-6)} = \frac{2x - x(x-6)}{(x-6)^2} = \frac{2x - x^2 + 6x}{(x-6)^2} = \frac{8x - x^2}{(x-6)^2}$
Вынесем в числителе общий множитель $x$:
$\frac{x(8-x)}{(x-6)^2}$

2. Выполним деление:
Результат первого действия разделим на дробь $\frac{8-x}{36-x^2}$.
$\frac{x(8-x)}{(x-6)^2} : \frac{8-x}{36-x^2}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей. Также разложим знаменатель $36-x^2$ по формуле разности квадратов: $36-x^2 = (6-x)(6+x)$.
$\frac{x(8-x)}{(x-6)^2} \cdot \frac{(6-x)(6+x)}{8-x}$
Сократим общий множитель $(8-x)$:
$\frac{x}{(x-6)^2} \cdot (6-x)(6+x)$
Поскольку $6-x = -(x-6)$, заменим это в выражении:
$\frac{x}{(x-6)^2} \cdot (-(x-6))(x+6)$
Сократим общий множитель $(x-6)$:
$\frac{x}{x-6} \cdot (-(x+6)) = \frac{-x(x+6)}{x-6}$

3. Выполним сложение:
К результату второго действия прибавим дробь $\frac{12x}{x-6}$.
$\frac{-x(x+6)}{x-6} + \frac{12x}{x-6}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому сложим их числители:
$\frac{-x(x+6) + 12x}{x-6} = \frac{-x^2-6x+12x}{x-6} = \frac{-x^2+6x}{x-6}$
Вынесем в числителе за скобки $-x$:
$\frac{-x(x-6)}{x-6}$
Сократим дробь на $(x-6)$:
$-x$

В результате преобразований левая часть тождества была приведена к виду $-x$. Так как левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, поскольку левая часть выражения после упрощения равна $-x$.