Номер 3, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Докажите тождество:

$\left(\frac{y-4}{y+4} - \frac{y+4}{y-4}\right) : \frac{16}{y^2-16} = -y.$

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Будем выполнять действия по порядку.

1. Выполнение вычитания в скобках.

Первым действием упростим выражение в скобках: $ \frac{y-4}{y+4} - \frac{y+4}{y-4} $.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $ (y+4)(y-4) $.

$ \frac{y-4}{y+4} - \frac{y+4}{y-4} = \frac{(y-4)(y-4)}{(y+4)(y-4)} - \frac{(y+4)(y+4)}{(y+4)(y-4)} = \frac{(y-4)^2 - (y+4)^2}{(y+4)(y-4)} $

Числитель полученной дроби можно упростить, применив формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = y-4 $, а $ b = y+4 $:

$ (y-4)^2 - (y+4)^2 = ((y-4) - (y+4)) \cdot ((y-4) + (y+4)) = (y-4-y-4) \cdot (y-4+y+4) = (-8) \cdot (2y) = -16y $

Знаменатель $ (y+4)(y-4) $ по той же формуле разности квадратов равен $ y^2 - 16 $.

Таким образом, результат выражения в скобках равен:

$ \frac{-16y}{y^2 - 16} $

2. Выполнение деления.

Теперь разделим результат первого действия на дробь $ \frac{16}{y^2 - 16} $:

$ \frac{-16y}{y^2 - 16} : \frac{16}{y^2 - 16} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{-16y}{y^2 - 16} \cdot \frac{y^2 - 16}{16} $

Сократим общие множители $ 16 $ и $ (y^2 - 16) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{-16y \cdot (y^2 - 16)}{16 \cdot (y^2 - 16)} = -y $

В результате преобразований левая часть исходного выражения $ \left(\frac{y-4}{y+4} - \frac{y+4}{y-4}\right) : \frac{16}{y^2 - 16} $ стала равна $ -y $, что в точности совпадает с правой частью тождества.

Ответ: Тождество доказано.