Номер 5, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Первую половину пути велосипедист ехал со скоростью $18 \text{ км/ч}$, а вторую — со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Средняя скорость движения вычисляется по формуле: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — все время движения.

Пусть весь путь, который проехал велосипедист, равен $S$. По условию задачи, он разделен на две равные половины, каждая по $\frac{S}{2}$.

Обозначим:

• $S_1 = \frac{S}{2}$ — первая половина пути.
• $v_1 = 18$ км/ч — скорость на первой половине пути.
• $S_2 = \frac{S}{2}$ — вторая половина пути.
• $v_2 = 12$ км/ч — скорость на второй половине пути.

Найдем время, затраченное на прохождение каждого участка. Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, затраченное на первую половину пути:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{18} = \frac{S}{2 \cdot 18} = \frac{S}{36}$ ч.

Время, затраченное на вторую половину пути:

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{12} = \frac{S}{2 \cdot 12} = \frac{S}{24}$ ч.

Общее время движения равно сумме времени на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{36} + \frac{S}{24}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 36 и 24 — это 72.

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{72} + \frac{3 \cdot S}{72} = \frac{2S + 3S}{72} = \frac{5S}{72}$ ч.

Теперь, зная общий путь ($S$) и общее время ($\frac{5S}{72}$), мы можем вычислить среднюю скорость:

$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{5S}{72}} = S \cdot \frac{72}{5S} = \frac{72S}{5S}$

Сокращаем $S$ и вычисляем значение:

$V_{ср} = \frac{72}{5} = 14,4$ км/ч.

Ответ: 14,4 км/ч.