Страница 33 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равно выражение $\left(\frac{a}{a-b}+\frac{a}{b}\right) : \frac{a}{a-b}$?

1) $\frac{a^3}{b(a-b)^2}$

2) $\frac{1}{b}$

3) $\frac{b}{a}$

4) $\frac{a}{b}$

Чтобы найти, какому выражению тождественно равно исходное, необходимо его упростить. Выполним действия по порядку.

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $ b(a-b) $:

$ \left(\frac{a}{a-b} + \frac{a}{b}\right) = \frac{a \cdot b}{b(a-b)} + \frac{a \cdot (a-b)}{b(a-b)} = \frac{ab + a(a-b)}{b(a-b)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{ab + a^2 - ab}{b(a-b)} = \frac{a^2}{b(a-b)} $

2. Теперь выполним деление полученного выражения на дробь $ \frac{a}{a-b} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{a^2}{b(a-b)} : \frac{a}{a-b} = \frac{a^2}{b(a-b)} \cdot \frac{a-b}{a} $

3. Сократим полученную дробь. Сокращаем общие множители $ (a-b) $ и $ a $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^2 \cdot (a-b)}{b \cdot (a-b) \cdot a} = \frac{a}{b} $

Полученный результат $ \frac{a}{b} $ совпадает с вариантом ответа под номером 4.

Ответ: 4) $ \frac{a}{b} $

2. Известно, что $a = \frac{3b}{c-1}$. Укажите верное равенство.

1) $c = \frac{3b-a}{a}$

2) $c = \frac{1+3b}{a}$

3) $c = \frac{a+3b}{a}$

4) $c = \frac{a+b}{3a}$

Чтобы найти верное равенство, необходимо выразить переменную $c$ из исходной формулы $a = \frac{3b}{c - 1}$.

Шаг 1: Избавимся от дроби в правой части уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на знаменатель $(c - 1)$, при условии, что $c - 1 \neq 0$.

$a \cdot (c - 1) = 3b$

Шаг 2: Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $a$ на каждый член в скобках.

$ac - a = 3b$

Шаг 3: Изолируем слагаемое, содержащее переменную $c$. Для этого перенесем слагаемое $-a$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.

$ac = 3b + a$

Шаг 4: Выразим $c$, разделив обе части уравнения на $a$, при условии, что $a \neq 0$.

$c = \frac{3b + a}{a}$

Полученное выражение можно записать как $c = \frac{a + 3b}{a}$, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Сравнив результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3

3. Докажите тождество:

$\left(\frac{x+9}{x-9} - \frac{x-9}{x+9}\right) : \frac{9x}{x^2-81} = 4.$

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Выполним преобразование по действиям.

1. Выполним вычитание дробей в скобках: $\frac{x+9}{x-9} - \frac{x-9}{x+9}$.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(x-9)(x+9)$.

$\frac{x+9}{x-9} - \frac{x-9}{x+9} = \frac{(x+9)(x+9)}{(x-9)(x+9)} - \frac{(x-9)(x-9)}{(x-9)(x+9)} = \frac{(x+9)^2 - (x-9)^2}{(x-9)(x+9)}$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x+9)^2 - (x-9)^2 = ((x+9) - (x-9))((x+9) + (x-9)) = (x+9-x+9)(x+9+x-9) = (18)(2x) = 36x$

Знаменатель по формуле разности квадратов равен $(x-9)(x+9) = x^2 - 81$.

Таким образом, результат выражения в скобках равен $\frac{36x}{x^2 - 81}$.

2. Теперь выполним деление:

$(\frac{x+9}{x-9} - \frac{x-9}{x+9}) : \frac{9x}{x^2 - 81} = \frac{36x}{x^2 - 81} : \frac{9x}{x^2 - 81}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:

$\frac{36x}{x^2 - 81} \cdot \frac{x^2 - 81}{9x}$

Сократим общие множители $(x^2 - 81)$ и $9x$. Данное действие возможно при области допустимых значений, где $x \neq 9$, $x \neq -9$ и $x \neq 0$.

$\frac{36x \cdot (x^2 - 81)}{(x^2 - 81) \cdot 9x} = \frac{36x}{9x} = 4$

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна 4, что соответствует его правой части.

4 = 4

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4. Найдите значение выражения $\left(\frac{4a}{5b} - \frac{5b}{4a}\right) : (4a + 5b),$

если $a = \frac{1}{8}, b = \frac{1}{5}$.

Для решения задачи сначала упростим исходное выражение. Первым шагом преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

1. Найдем общий знаменатель для дробей $ \frac{4a}{5b} $ и $ \frac{5b}{4a} $. Он равен $ 5b \cdot 4a = 20ab $.

$ \frac{4a}{5b} - \frac{5b}{4a} = \frac{4a \cdot 4a}{5b \cdot 4a} - \frac{5b \cdot 5b}{4a \cdot 5b} = \frac{16a^2 - 25b^2}{20ab} $

2. Числитель $ 16a^2 - 25b^2 $ является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2 = (4a - 5b)(4a + 5b) $

3. Подставим разложенный числитель обратно в дробь. Исходное выражение примет вид:

$ \frac{(4a - 5b)(4a + 5b)}{20ab} : (4a + 5b) $

4. Выполним деление. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему число:

$ \frac{(4a - 5b)(4a + 5b)}{20ab} \cdot \frac{1}{4a + 5b} $

5. Сократим общий множитель $ (4a + 5b) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{4a - 5b}{20ab} $

6. Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значения $ a = \frac{1}{8} $ и $ b = \frac{1}{5} $.

Вычислим числитель:

$ 4a - 5b = 4 \cdot \frac{1}{8} - 5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{8} - \frac{5}{5} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $

Вычислим знаменатель:

$ 20ab = 20 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{5} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} $

7. Найдем значение всего выражения:

$ \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1 $

Ответ: -1

5. Первую половину пути велосипедист ехал со скоростью $18 \text{ км/ч}$, а вторую — со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Средняя скорость движения вычисляется по формуле: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — все время движения.

Пусть весь путь, который проехал велосипедист, равен $S$. По условию задачи, он разделен на две равные половины, каждая по $\frac{S}{2}$.

Обозначим:

• $S_1 = \frac{S}{2}$ — первая половина пути.
• $v_1 = 18$ км/ч — скорость на первой половине пути.
• $S_2 = \frac{S}{2}$ — вторая половина пути.
• $v_2 = 12$ км/ч — скорость на второй половине пути.

Найдем время, затраченное на прохождение каждого участка. Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, затраченное на первую половину пути:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{18} = \frac{S}{2 \cdot 18} = \frac{S}{36}$ ч.

Время, затраченное на вторую половину пути:

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{12} = \frac{S}{2 \cdot 12} = \frac{S}{24}$ ч.

Общее время движения равно сумме времени на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{36} + \frac{S}{24}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 36 и 24 — это 72.

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{72} + \frac{3 \cdot S}{72} = \frac{2S + 3S}{72} = \frac{5S}{72}$ ч.

Теперь, зная общий путь ($S$) и общее время ($\frac{5S}{72}$), мы можем вычислить среднюю скорость:

$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{5S}{72}} = S \cdot \frac{72}{5S} = \frac{72S}{5S}$

Сокращаем $S$ и вычисляем значение:

$V_{ср} = \frac{72}{5} = 14,4$ км/ч.

Ответ: 14,4 км/ч.