Страница 28 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна сумма $\frac{2a^2 + b}{a^2b} + \frac{a - 2b^2}{b^3}$?

1) $\frac{a^3 - b^3}{a^2b^3}$

2) $\frac{a^3 + b^3}{a^2b^3}$

3) $\frac{a^3 + b^3}{ab}$

4) $\frac{a^3 - b^3}{a^2b^2}$

Чтобы найти, какому из приведённых выражений тождественно равна сумма, необходимо выполнить сложение дробей.

$$ \frac{2a^2 + b}{a^2b} + \frac{a - 2b^2}{b^3} $$

Сначала найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $a^2b$ и $b^3$. Наименьшим общим знаменателем является выражение $a^2b^3$.

Теперь приведём каждую дробь к этому знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $b^2$, а второй дроби — на $a^2$.

$$ \frac{(2a^2 + b) \cdot b^2}{a^2b \cdot b^2} + \frac{(a - 2b^2) \cdot a^2}{b^3 \cdot a^2} = \frac{2a^2b^2 + b^3}{a^2b^3} + \frac{a^3 - 2a^2b^2}{a^2b^3} $$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем, для этого сложим их числители:

$$ \frac{(2a^2b^2 + b^3) + (a^3 - 2a^2b^2)}{a^2b^3} $$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$$ 2a^2b^2 + b^3 + a^3 - 2a^2b^2 = a^3 + b^3 $$

Таким образом, исходная сумма равна:

$$ \frac{a^3 + b^3}{a^2b^3} $$

Это выражение соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $ \frac{a^3 + b^3}{a^2b^3} $

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $ \frac{x}{x - y} - \frac{x + y}{x} $?

1) $ \frac{y^2}{x(x - y)} $

2) $ -\frac{y^2}{x(x - y)} $

3) $ \frac{2x^2 + y^2}{x(x - y)} $

4) $ \frac{2x^2 - y^2}{x(x - y)} $

Чтобы найти, какому выражению тождественно равна разность $\frac{x}{x - y} - \frac{x + y}{x}$, необходимо выполнить вычитание дробей. Для этого приведём их к общему знаменателю.

Общим знаменателем для дробей со знаменателями $(x-y)$ и $x$ является их произведение: $x(x-y)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $x$, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель $(x-y)$:

$\frac{x}{x - y} - \frac{x + y}{x} = \frac{x \cdot x}{x(x - y)} - \frac{(x + y)(x - y)}{x(x - y)}$

Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:

$\frac{x^2 - (x + y)(x - y)}{x(x - y)}$

В числителе применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. В нашем случае $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$.

$\frac{x^2 - (x^2 - y^2)}{x(x - y)}$

Раскроем скобки в числителе. Обратите внимание, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные:

$\frac{x^2 - x^2 + y^2}{x(x - y)}$

Приведём подобные слагаемые в числителе ($x^2 - x^2 = 0$):

$\frac{y^2}{x(x - y)}$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 1).

Ответ: 1

3. Упростите выражение:

1) $ \frac{6m}{7n} - \frac{36m^2 + 49n^2}{42mn} + \frac{7n - 4m}{6m} $;

2) $ \frac{36}{4a - a^2} - \frac{9}{a} $;

3) $ \frac{4}{3x + 6} + \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} - 1 $;

4) $ \frac{n}{n - 1} - 1 - \frac{2n + 1}{n^3 - 1} $.

1) Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели: $7n$, $42mn$, и $6m$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — это $42mn$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{42mn}{7n} = 6m$.
Дополнительный множитель для третьей дроби: $\frac{42mn}{6m} = 7n$.
Получаем:
$\frac{6m \cdot 6m}{42mn} - \frac{36m^2 + 49n^2}{42mn} + \frac{(7n - 4m) \cdot 7n}{42mn} = \frac{36m^2}{42mn} - \frac{36m^2 + 49n^2}{42mn} + \frac{49n^2 - 28mn}{42mn}$
Теперь объединим все под одним знаменателем:
$\frac{36m^2 - (36m^2 + 49n^2) + (49n^2 - 28mn)}{42mn}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{36m^2 - 36m^2 - 49n^2 + 49n^2 - 28mn}{42mn}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{-28mn}{42mn}$
Сократим дробь на $14mn$ :
$\frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$

2) Разложим знаменатель первой дроби на множители: $4a - a^2 = a(4 - a)$.
Выражение примет вид:
$\frac{36}{a(4 - a)} - \frac{9}{a}$
Общий знаменатель для дробей — $a(4 - a)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на $(4 - a)$:
$\frac{36}{a(4 - a)} - \frac{9(4 - a)}{a(4 - a)}$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{36 - 9(4 - a)}{a(4 - a)} = \frac{36 - 36 + 9a}{a(4 - a)} = \frac{9a}{a(4 - a)}$
Сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{9}{4 - a}$
Ответ: $\frac{9}{4 - a}$

3) Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:
$3x + 6 = 3(x + 2)$
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (разность квадратов)
$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ (по теореме Виета)
Подставим разложенные выражения в исходное:
$\frac{4}{3(x + 6)} + \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} - 1$
Сократим вторую дробь на $(x - 2)$:
$\frac{4}{3(x + 2)} + \frac{x + 1}{x + 2} - 1$
Общий знаменатель — $3(x + 2)$. Приведем все слагаемые к нему:
$\frac{4}{3(x + 2)} + \frac{3(x + 1)}{3(x + 2)} - \frac{3(x + 2)}{3(x + 2)}$
Объединим дроби:
$\frac{4 + 3(x + 1) - 3(x + 2)}{3(x + 2)} = \frac{4 + 3x + 3 - 3x - 6}{3(x + 2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(3x - 3x) + (4 + 3 - 6)}{3(x + 2)} = \frac{1}{3(x + 2)}$
Ответ: $\frac{1}{3(x + 2)}$

4) Разложим знаменатель последней дроби по формуле разности кубов: $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$.
Выражение примет вид:
$\frac{n}{n - 1} - 1 - \frac{2n + 1}{(n - 1)(n^2 + n + 1)}$
Общий знаменатель — $(n - 1)(n^2 + n + 1)$. Приведем первые два слагаемых к этому знаменателю:
$\frac{n(n^2 + n + 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)} - \frac{(n - 1)(n^2 + n + 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)} - \frac{2n + 1}{(n - 1)(n^2 + n + 1)}$
Объединим числители:
$\frac{n(n^2 + n + 1) - (n^3 - 1) - (2n + 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{n^3 + n^2 + n - n^3 + 1 - 2n - 1}{n^3 - 1}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(n^3 - n^3) + n^2 + (n - 2n) + (1 - 1)}{n^3 - 1} = \frac{n^2 - n}{n^3 - 1}$
Разложим числитель на множители: $n^2 - n = n(n - 1)$.
$\frac{n(n - 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)}$
Сократим дробь на $(n - 1)$:
$\frac{n}{n^2 + n + 1}$
Ответ: $\frac{n}{n^2 + n + 1}$

4. Найдите значение выражения $\frac{c+4}{c^2+14c+49} - \frac{c-3}{c^2+7c}$, если $c = 63.$

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него значение $c=63$.

Исходное выражение:

$$ \frac{c+4}{c^2 + 14c + 49} - \frac{c-3}{c^2 + 7c} $$

1. Разложим на множители знаменатели обеих дробей.

Знаменатель первой дроби $c^2 + 14c + 49$ представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$$ c^2 + 2 \cdot c \cdot 7 + 7^2 = (c+7)^2 $$

В знаменателе второй дроби $c^2 + 7c$ вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$$ c^2 + 7c = c(c+7) $$

2. Перепишем выражение с новыми знаменателями:

$$ \frac{c+4}{(c+7)^2} - \frac{c-3}{c(c+7)} $$

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $(c+7)^2$ и $c(c+7)$ это $c(c+7)^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $c$, а второй дроби на $(c+7)$:

$$ \frac{c(c+4)}{c(c+7)^2} - \frac{(c-3)(c+7)}{c(c+7)^2} $$

4. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$$ \frac{c(c+4) - (c-3)(c+7)}{c(c+7)^2} $$

5. Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$$ \frac{c^2 + 4c - (c^2 + 7c - 3c - 21)}{c(c+7)^2} = \frac{c^2 + 4c - (c^2 + 4c - 21)}{c(c+7)^2} $$

$$ \frac{c^2 + 4c - c^2 - 4c + 21}{c(c+7)^2} = \frac{21}{c(c+7)^2} $$

6. Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $c=63$:

$$ \frac{21}{63(63+7)^2} = \frac{21}{63 \cdot (70)^2} = \frac{21}{63 \cdot 4900} $$

7. Сократим полученную дробь. Заметим, что $63 = 3 \cdot 21$.

$$ \frac{21}{3 \cdot 21 \cdot 4900} = \frac{1}{3 \cdot 4900} = \frac{1}{14700} $$

Ответ: $ \frac{1}{14700} $