Номер 3, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $ \frac{6m}{7n} - \frac{36m^2 + 49n^2}{42mn} + \frac{7n - 4m}{6m} $;

2) $ \frac{36}{4a - a^2} - \frac{9}{a} $;

3) $ \frac{4}{3x + 6} + \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} - 1 $;

4) $ \frac{n}{n - 1} - 1 - \frac{2n + 1}{n^3 - 1} $.

1) Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели: $7n$, $42mn$, и $6m$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — это $42mn$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{42mn}{7n} = 6m$.
Дополнительный множитель для третьей дроби: $\frac{42mn}{6m} = 7n$.
Получаем:
$\frac{6m \cdot 6m}{42mn} - \frac{36m^2 + 49n^2}{42mn} + \frac{(7n - 4m) \cdot 7n}{42mn} = \frac{36m^2}{42mn} - \frac{36m^2 + 49n^2}{42mn} + \frac{49n^2 - 28mn}{42mn}$
Теперь объединим все под одним знаменателем:
$\frac{36m^2 - (36m^2 + 49n^2) + (49n^2 - 28mn)}{42mn}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{36m^2 - 36m^2 - 49n^2 + 49n^2 - 28mn}{42mn}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{-28mn}{42mn}$
Сократим дробь на $14mn$ :
$\frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$

2) Разложим знаменатель первой дроби на множители: $4a - a^2 = a(4 - a)$.
Выражение примет вид:
$\frac{36}{a(4 - a)} - \frac{9}{a}$
Общий знаменатель для дробей — $a(4 - a)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на $(4 - a)$:
$\frac{36}{a(4 - a)} - \frac{9(4 - a)}{a(4 - a)}$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{36 - 9(4 - a)}{a(4 - a)} = \frac{36 - 36 + 9a}{a(4 - a)} = \frac{9a}{a(4 - a)}$
Сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{9}{4 - a}$
Ответ: $\frac{9}{4 - a}$

3) Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:
$3x + 6 = 3(x + 2)$
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (разность квадратов)
$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ (по теореме Виета)
Подставим разложенные выражения в исходное:
$\frac{4}{3(x + 6)} + \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} - 1$
Сократим вторую дробь на $(x - 2)$:
$\frac{4}{3(x + 2)} + \frac{x + 1}{x + 2} - 1$
Общий знаменатель — $3(x + 2)$. Приведем все слагаемые к нему:
$\frac{4}{3(x + 2)} + \frac{3(x + 1)}{3(x + 2)} - \frac{3(x + 2)}{3(x + 2)}$
Объединим дроби:
$\frac{4 + 3(x + 1) - 3(x + 2)}{3(x + 2)} = \frac{4 + 3x + 3 - 3x - 6}{3(x + 2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(3x - 3x) + (4 + 3 - 6)}{3(x + 2)} = \frac{1}{3(x + 2)}$
Ответ: $\frac{1}{3(x + 2)}$

4) Разложим знаменатель последней дроби по формуле разности кубов: $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$.
Выражение примет вид:
$\frac{n}{n - 1} - 1 - \frac{2n + 1}{(n - 1)(n^2 + n + 1)}$
Общий знаменатель — $(n - 1)(n^2 + n + 1)$. Приведем первые два слагаемых к этому знаменателю:
$\frac{n(n^2 + n + 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)} - \frac{(n - 1)(n^2 + n + 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)} - \frac{2n + 1}{(n - 1)(n^2 + n + 1)}$
Объединим числители:
$\frac{n(n^2 + n + 1) - (n^3 - 1) - (2n + 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{n^3 + n^2 + n - n^3 + 1 - 2n - 1}{n^3 - 1}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(n^3 - n^3) + n^2 + (n - 2n) + (1 - 1)}{n^3 - 1} = \frac{n^2 - n}{n^3 - 1}$
Разложим числитель на множители: $n^2 - n = n(n - 1)$.
$\frac{n(n - 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)}$
Сократим дробь на $(n - 1)$:
$\frac{n}{n^2 + n + 1}$
Ответ: $\frac{n}{n^2 + n + 1}$