Номер 4, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите значение выражения $\frac{c+3}{c^2-5c} - \frac{c-2}{c^2-10c+25}$, если $c = 45$.

Для нахождения значения выражения целесообразно сначала его упростить, а затем подставить значение переменной.

Исходное выражение:

$$ \frac{c + 3}{c^2 - 5c} - \frac{c - 2}{c^2 - 10c + 25} $$

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби раскладывается вынесением общего множителя за скобки:
$c^2 - 5c = c(c - 5)$.
Знаменатель второй дроби является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$c^2 - 10c + 25 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = (c - 5)^2$.

После разложения знаменателей выражение примет вид:

$$ \frac{c + 3}{c(c - 5)} - \frac{c - 2}{(c - 5)^2} $$

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $c(c - 5)$ и $(c - 5)^2$ это $c(c - 5)^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(c - 5)$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $c$.

$$ \frac{(c + 3)(c - 5)}{c(c - 5)^2} - \frac{c(c - 2)}{c(c - 5)^2} $$

3. Выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем:

$$ \frac{(c + 3)(c - 5) - c(c - 2)}{c(c - 5)^2} $$

4. Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$$ (c + 3)(c - 5) - c(c - 2) = (c^2 - 5c + 3c - 15) - (c^2 - 2c) = c^2 - 2c - 15 - c^2 + 2c = -15 $$

5. После упрощения выражение выглядит так:

$$ \frac{-15}{c(c - 5)^2} $$

6. Теперь подставим значение $c = 45$ в упрощенное выражение:

$$ \frac{-15}{45(45 - 5)^2} = \frac{-15}{45(40)^2} = \frac{-15}{45 \cdot 1600} $$

7. Сократим полученную дробь. Можно сократить числитель -15 и множитель 45 в знаменателе на 15:

$$ \frac{-1}{3 \cdot 1600} = -\frac{1}{4800} $$

Ответ: $-\frac{1}{4800}$