Номер 3, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $\frac{5}{6a^2} + \frac{7}{12a^3b}$;

2) $\frac{1}{5x} - \frac{5x + y}{5xy}$;

3) $\frac{2a}{a^2 - 4b^2} - \frac{2}{a - 2b}$;

4) $7m + \frac{6n - 7m^2}{m}$.

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{5}{6a^2} $ и $ \frac{7}{12a^3b} $, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ 6a^2 $ и $ 12a^3b $ будет $ 12a^3b $.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{12a^3b}{6a^2} = 2ab $.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель: $ \frac{5 \cdot 2ab}{6a^2 \cdot 2ab} = \frac{10ab}{12a^3b} $.
Теперь выполним сложение: $ \frac{10ab}{12a^3b} + \frac{7}{12a^3b} = \frac{10ab + 7}{12a^3b} $.
Ответ: $ \frac{10ab + 7}{12a^3b} $.

2) Чтобы вычесть дроби $ \frac{1}{5x} $ и $ \frac{5x + y}{5xy} $, приведем их к общему знаменателю $ 5xy $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{5xy}{5x} = y $.
Умножим первую дробь на дополнительный множитель и выполним вычитание: $ \frac{1 \cdot y}{5x \cdot y} - \frac{5x + y}{5xy} = \frac{y}{5xy} - \frac{5x + y}{5xy} = \frac{y - (5x + y)}{5xy} $.
Раскроем скобки в числителе: $ \frac{y - 5x - y}{5xy} = \frac{-5x}{5xy} $.
Сократим полученную дробь на $ 5x $: $ \frac{-1}{y} = -\frac{1}{y} $.
Ответ: $ -\frac{1}{y} $.

3) Для упрощения выражения $ \frac{2a}{a^2 - 4b^2} - \frac{2}{a - 2b} $ разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $ a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b) $.
Выражение примет вид: $ \frac{2a}{(a - 2b)(a + 2b)} - \frac{2}{a - 2b} $.
Общий знаменатель равен $ (a - 2b)(a + 2b) $. Дополнительный множитель для второй дроби - $ (a + 2b) $.
Выполним вычитание: $ \frac{2a}{(a - 2b)(a + 2b)} - \frac{2(a + 2b)}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{2a - 2(a + 2b)}{(a - 2b)(a + 2b)} $.
Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{2a - 2a - 4b}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{-4b}{a^2 - 4b^2} $.
Ответ: $ \frac{-4b}{a^2 - 4b^2} $.

4) Чтобы упростить выражение $ 7m + \frac{6n - 7m^2}{m} $, представим первое слагаемое $ 7m $ в виде дроби со знаменателем $ m $:
$ 7m = \frac{7m \cdot m}{m} = \frac{7m^2}{m} $.
Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{7m^2}{m} + \frac{6n - 7m^2}{m} = \frac{7m^2 + 6n - 7m^2}{m} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе: $ \frac{(7m^2 - 7m^2) + 6n}{m} = \frac{6n}{m} $.
Ответ: $ \frac{6n}{m} $.