Номер 3, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $\frac{7x^3 - 6}{x^2} + \frac{6 - 3x^3}{x^2}$;

2) $\frac{6y + 2}{y - 3} + \frac{7y - 11}{y - 3} - \frac{9y + 3}{y - 3}$;

3) $\frac{6a + 3}{a^2 - 49} - \frac{5a - 4}{a^2 - 49}$;

4) $\frac{35 - 10c}{(c - 3)(5 - c)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)}$.

1) $\frac{7x^3 - 6}{x^2} + \frac{6 - 3x^3}{x^2}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{7x^3 - 6}{x^2} + \frac{6 - 3x^3}{x^2} = \frac{(7x^3 - 6) + (6 - 3x^3)}{x^2} = \frac{7x^3 - 6 + 6 - 3x^3}{x^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{7x^3 - 3x^3 - 6 + 6}{x^2} = \frac{4x^3}{x^2}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $x^2$:

$\frac{4x^3}{x^2} = 4x^{3-2} = 4x$

Ответ: $4x$

2) $\frac{6y + 2}{y - 3} + \frac{7y - 11}{y - 3} - \frac{9y + 3}{y - 3}$

Все дроби имеют одинаковый знаменатель $y - 3$, поэтому выполним действия с числителями:

$\frac{(6y + 2) + (7y - 11) - (9y + 3)}{y - 3} = \frac{6y + 2 + 7y - 11 - 9y - 3}{y - 3}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(6y + 7y - 9y) + (2 - 11 - 3)}{y - 3} = \frac{4y - 12}{y - 3}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:

$\frac{4(y - 3)}{y - 3}$

Сократим дробь на $(y - 3)$:

$\frac{4(y - 3)}{y - 3} = 4$

Ответ: $4$

3) $\frac{6a + 3}{a^2 - 49} - \frac{5a - 4}{a^2 - 49}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычтем числители:

$\frac{(6a + 3) - (5a - 4)}{a^2 - 49} = \frac{6a + 3 - 5a + 4}{a^2 - 49}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(6a - 5a) + (3 + 4)}{a^2 - 49} = \frac{a + 7}{a^2 - 49}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{a + 7}{(a - 7)(a + 7)}$

Сократим дробь на $(a + 7)$:

$\frac{1}{a - 7}$

Ответ: $\frac{1}{a - 7}$

4) $\frac{35 - 10c}{(c - 3)(5 - c)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)}$

Заметим, что знаменатели дробей отличаются знаком одного из множителей: $(5 - c) = -(c - 5)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(c - 3)(c - 5)$. Для этого в первой дроби изменим знак в множителе $(5 - c)$ на противоположный и одновременно изменим знак перед дробью:

$\frac{35 - 10c}{(c - 3)(-(c - 5))} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)} = -\frac{35 - 10c}{(c - 3)(c - 5)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)}$

Внесем знак "минус" в числитель первой дроби:

$\frac{-(35 - 10c)}{(c - 3)(c - 5)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)} = \frac{10c - 35}{(c - 3)(c - 5)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)}$

Теперь сложим числители:

$\frac{10c - 35 + 10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)} = \frac{-c^2 + 10c - 25}{(c - 3)(c - 5)}$

Вынесем "-1" за скобки в числителе, чтобы получить квадратный трехчлен стандартного вида:

$\frac{-(c^2 - 10c + 25)}{(c - 3)(c - 5)}$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(c - 5)^2$:

$\frac{-(c - 5)^2}{(c - 3)(c - 5)}$

Сократим дробь на $(c - 5)$:

$\frac{-(c - 5)}{c - 3} = \frac{5 - c}{c - 3}$

Ответ: $\frac{5 - c}{c - 3}$