Страница 24 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна сумма $ \frac{8a}{bc^2} + \frac{7b - 8a}{bc^2} $?

1) $ \frac{16a + 7b}{bc^2} $

2) $ \frac{7}{c^2} $

3) $ \frac{7}{bc} $

4) $ \frac{7}{bc^2} $

Для того чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Знаменатель обеих дробей равен $bc^2$.

Сложим числители данных дробей:

$\frac{8a}{bc^2} + \frac{7b - 8a}{bc^2} = \frac{8a + (7b - 8a)}{bc^2}$

Теперь упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые. Слагаемые $8a$ и $-8a$ взаимно уничтожаются:

$8a + 7b - 8a = (8a - 8a) + 7b = 0 + 7b = 7b$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{7b}{bc^2}$

Теперь сократим полученную дробь. В числителе и знаменателе есть общий множитель b. Сократим дробь на b:

$\frac{7 \cdot b}{b \cdot c^2} = \frac{7}{c^2}$

Полученное выражение $\frac{7}{c^2}$ соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $ \frac{12m - 4n}{7m - 2n} - \frac{4n - 16m}{7m - 2n} $?

1) $ -\frac{4m}{7m - 2n} $

2) $ 4 $

3) $ \frac{28m}{7m - 2n} $

4) $ 28m - 8n $

Для того чтобы найти разность двух дробей с одинаковым знаменателем, необходимо вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Исходное выражение:

$ \frac{12m - 4n}{7m - 2n} - \frac{4n - 16m}{7m - 2n} $

Объединим числители под общим знаменателем. Обратите внимание, что знак минус перед второй дробью применяется ко всему её числителю:

$ \frac{(12m - 4n) - (4n - 16m)}{7m - 2n} $

Раскроем скобки в числителе. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри скобки на противоположные:

$ \frac{12m - 4n - 4n + 16m}{7m - 2n} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(12m + 16m) + (-4n - 4n)}{7m - 2n} = \frac{28m - 8n}{7m - 2n} $

Теперь вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общим множителем для $28m$ и $8n$ является 4:

$ \frac{4(7m - 2n)}{7m - 2n} $

Сократим дробь на общий множитель $(7m - 2n)$:

$ \frac{4\cancel{(7m - 2n)}}{\cancel{(7m - 2n)}} = 4 $

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2

3. Упростите выражение:

1) $\frac{7x^3 - 6}{x^2} + \frac{6 - 3x^3}{x^2}$;

2) $\frac{6y + 2}{y - 3} + \frac{7y - 11}{y - 3} - \frac{9y + 3}{y - 3}$;

3) $\frac{6a + 3}{a^2 - 49} - \frac{5a - 4}{a^2 - 49}$;

4) $\frac{35 - 10c}{(c - 3)(5 - c)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)}$.

1) $\frac{7x^3 - 6}{x^2} + \frac{6 - 3x^3}{x^2}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{7x^3 - 6}{x^2} + \frac{6 - 3x^3}{x^2} = \frac{(7x^3 - 6) + (6 - 3x^3)}{x^2} = \frac{7x^3 - 6 + 6 - 3x^3}{x^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{7x^3 - 3x^3 - 6 + 6}{x^2} = \frac{4x^3}{x^2}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $x^2$:

$\frac{4x^3}{x^2} = 4x^{3-2} = 4x$

Ответ: $4x$

2) $\frac{6y + 2}{y - 3} + \frac{7y - 11}{y - 3} - \frac{9y + 3}{y - 3}$

Все дроби имеют одинаковый знаменатель $y - 3$, поэтому выполним действия с числителями:

$\frac{(6y + 2) + (7y - 11) - (9y + 3)}{y - 3} = \frac{6y + 2 + 7y - 11 - 9y - 3}{y - 3}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(6y + 7y - 9y) + (2 - 11 - 3)}{y - 3} = \frac{4y - 12}{y - 3}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:

$\frac{4(y - 3)}{y - 3}$

Сократим дробь на $(y - 3)$:

$\frac{4(y - 3)}{y - 3} = 4$

Ответ: $4$

3) $\frac{6a + 3}{a^2 - 49} - \frac{5a - 4}{a^2 - 49}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычтем числители:

$\frac{(6a + 3) - (5a - 4)}{a^2 - 49} = \frac{6a + 3 - 5a + 4}{a^2 - 49}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(6a - 5a) + (3 + 4)}{a^2 - 49} = \frac{a + 7}{a^2 - 49}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{a + 7}{(a - 7)(a + 7)}$

Сократим дробь на $(a + 7)$:

$\frac{1}{a - 7}$

Ответ: $\frac{1}{a - 7}$

4) $\frac{35 - 10c}{(c - 3)(5 - c)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)}$

Заметим, что знаменатели дробей отличаются знаком одного из множителей: $(5 - c) = -(c - 5)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(c - 3)(c - 5)$. Для этого в первой дроби изменим знак в множителе $(5 - c)$ на противоположный и одновременно изменим знак перед дробью:

$\frac{35 - 10c}{(c - 3)(-(c - 5))} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)} = -\frac{35 - 10c}{(c - 3)(c - 5)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)}$

Внесем знак "минус" в числитель первой дроби:

$\frac{-(35 - 10c)}{(c - 3)(c - 5)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)} = \frac{10c - 35}{(c - 3)(c - 5)} + \frac{10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)}$

Теперь сложим числители:

$\frac{10c - 35 + 10 - c^2}{(c - 3)(c - 5)} = \frac{-c^2 + 10c - 25}{(c - 3)(c - 5)}$

Вынесем "-1" за скобки в числителе, чтобы получить квадратный трехчлен стандартного вида:

$\frac{-(c^2 - 10c + 25)}{(c - 3)(c - 5)}$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(c - 5)^2$:

$\frac{-(c - 5)^2}{(c - 3)(c - 5)}$

Сократим дробь на $(c - 5)$:

$\frac{-(c - 5)}{c - 3} = \frac{5 - c}{c - 3}$

Ответ: $\frac{5 - c}{c - 3}$

4. Найдите все целые значения $n$, при которых является целым числом значение выражения $\frac{10n + 9}{5n - 2}$.

Для того чтобы значение выражения было целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель нацело. Преобразуем данное выражение, выделив целую часть.

$\frac{10n + 9}{5n - 2} = \frac{10n - 4 + 13}{5n - 2} = \frac{2(5n - 2) + 13}{5n - 2} = \frac{2(5n - 2)}{5n - 2} + \frac{13}{5n - 2} = 2 + \frac{13}{5n - 2}$

Выражение $2 + \frac{13}{5n - 2}$ будет целым числом, если дробь $\frac{13}{5n - 2}$ будет целым числом. Это возможно только в том случае, если знаменатель $(5n - 2)$ является делителем числителя, то есть числа 13.

Число 13 является простым, его целые делители: $1, -1, 13, -13$.

Рассмотрим все возможные случаи:

• $5n - 2 = 1$
  $5n = 3$
  $n = \frac{3}{5}$ (не является целым числом)
• $5n - 2 = -1$
  $5n = 1$
  $n = \frac{1}{5}$ (не является целым числом)
• $5n - 2 = 13$
  $5n = 15$
  $n = 3$ (является целым числом)
• $5n - 2 = -13$
  $5n = -11$
  $n = -\frac{11}{5}$ (не является целым числом)

Единственное целое значение $n$, при котором выражение является целым числом, это $n = 3$.

Проверим: при $n = 3$ выражение равно $\frac{10 \cdot 3 + 9}{5 \cdot 3 - 2} = \frac{39}{13} = 3$, что является целым числом.

Ответ: 3