Страница 19 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно

равна дробь $ \frac{18x^3y^2}{24x^2y^6} $?

1) $ \frac{x}{6y^3} $

2) $ \frac{3x}{4y^2} $

3) $ \frac{x}{6y^4} $

4) $ \frac{3x}{4y^4} $

1.

Чтобы найти выражение, тождественно равное дроби $ \frac{18x^3y^2}{24x^2y^6} $, необходимо упростить (сократить) эту дробь. Упрощение производится пошагово: сначала сокращаются числовые коэффициенты, а затем степени каждой переменной.

1. Сокращение числовых коэффициентов.
Коэффициенты дроби — это 18 и 24. Найдём их наибольший общий делитель (НОД).
НОД(18, 24) = 6.
Разделим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} $

2. Сокращение степеней переменной x.
Воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.
$ \frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x^1 = x $

3. Сокращение степеней переменной y.
Применим то же свойство степеней:
$ \frac{y^2}{y^6} = y^{2-6} = y^{-4} $
По определению степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, следовательно:
$ y^{-4} = \frac{1}{y^4} $

4. Объединение результатов.
Теперь соберём все упрощённые части в одну дробь:
$ \frac{18x^3y^2}{24x^2y^6} = \frac{3}{4} \cdot x \cdot \frac{1}{y^4} = \frac{3x}{4y^4} $

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 4).

Ответ: 4) $ \frac{3x}{4y^4} $

2. Какой из приведённых одночленов является общим знаменателем дробей $\frac{19}{10x^3y^2c}$ и $\frac{17}{15x^4y^2c^5}$?

1) $30x^3yc$

2) $30x^4y^2c^5$

3) $25xyc$

4) $25x^4y^2c$

Чтобы найти общий знаменатель для дробей $\frac{19}{10x^3y^2c}$ и $\frac{17}{15x^4yc^5}$, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для их знаменателей: $10x^3y^2c$ и $15x^4yc^5$.

Процесс нахождения НОК для одночленов состоит из двух шагов:

1. Находим наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов 10 и 15.
НОК(10, 15) = 30.

2. Для каждой переменной ($x$, $y$, $c$) выбираем наибольшую степень, в которой она встречается в знаменателях.

• Для переменной $x$: степени $x^3$ и $x^4$. Выбираем $x^4$.
• Для переменной $y$: степени $y^2$ и $y^1$. Выбираем $y^2$.
• Для переменной $c$: степени $c^1$ и $c^5$. Выбираем $c^5$.

3. Составляем общий знаменатель, перемножая НОК коэффициентов и переменные в выбранных степенях.
Общий знаменатель = $30x^4y^2c^5$.

Этот результат соответствует варианту ответа 2.

Ответ: 2) $30x^4y^2c^5$

3. Сократите дробь:

1) $\frac{8y - 16x^2y}{8y^2}$;

2) $\frac{x^3 + 4x^2}{x^2 - 16}$;

3) $\frac{(a + b)^2 - (a - b)(a + b)}{a^2b + ab^2}$;

4) $\frac{3ab + 3a + 2b + 2}{2b - 2 + 3ab - 3a}$.

1)
Чтобы сократить дробь $ \frac{8y - 16x^2y}{8y^2} $, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $8y$:
$8y - 16x^2y = 8y(1 - 2x^2)$.
Знаменатель представим в виде произведения: $8y^2 = 8y \cdot y$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \frac{8y(1 - 2x^2)}{8y \cdot y} $.
Сократим общий множитель $8y$:
$ \frac{1 - 2x^2}{y} $.
Ответ: $ \frac{1 - 2x^2}{y} $.

2)
Рассмотрим дробь $ \frac{x^3 + 4x^2}{x^2 - 16} $.
Разложим числитель на множители, вынеся за скобки $x^2$:
$x^3 + 4x^2 = x^2(x + 4)$.
Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.
Теперь дробь имеет вид:
$ \frac{x^2(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} $.
Сократим общий множитель $(x + 4)$:
$ \frac{x^2}{x - 4} $.
Ответ: $ \frac{x^2}{x - 4} $.

3)
Рассмотрим дробь $ \frac{(a + b)^2 - (a - b)(a + b)}{a^2b + ab^2} $.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $(a + b)$:
$(a + b)^2 - (a - b)(a + b) = (a + b) \cdot ((a + b) - (a - b)) = (a + b) \cdot (a + b - a + b) = (a + b) \cdot 2b = 2b(a + b)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ab$:
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$ \frac{2b(a + b)}{ab(a + b)} $.
Сократим общие множители $b$ и $(a + b)$:
$ \frac{2}{a} $.
Ответ: $ \frac{2}{a} $.

4)
Рассмотрим дробь $ \frac{3ab + 3a + 2b + 2}{2b - 2 + 3ab - 3a} $.
Разложим числитель на множители методом группировки:
$3ab + 3a + 2b + 2 = (3ab + 3a) + (2b + 2) = 3a(b + 1) + 2(b + 1) = (3a + 2)(b + 1)$.
Разложим знаменатель на множители, также сгруппировав слагаемые:
$2b - 2 + 3ab - 3a = (3ab - 3a) + (2b - 2) = 3a(b - 1) + 2(b - 1) = (3a + 2)(b - 1)$.
Перепишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$ \frac{(3a + 2)(b + 1)}{(3a + 2)(b - 1)} $.
Сократим общий множитель $(3a + 2)$:
$ \frac{b + 1}{b - 1} $.
Ответ: $ \frac{b + 1}{b - 1} $.

4. Найдите значение выражения $\frac{m^2 - 9n^2}{m^2 + 6mn + 9n^2}$, если $m = 3,2, n = -0,4.$

Для нахождения значения выражения $\frac{m^2 - 9n^2}{m^2 + 6mn + 9n^2}$ при заданных значениях $m = 3,2$ и $n = -0,4$, сначала упростим его, используя формулы сокращенного умножения. Это позволит сделать вычисления проще.

1. Рассмотрим числитель дроби: $m^2 - 9n^2$.
Это выражение является разностью квадратов, так как $9n^2 = (3n)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$m^2 - 9n^2 = m^2 - (3n)^2 = (m - 3n)(m + 3n)$

2. Рассмотрим знаменатель дроби: $m^2 + 6mn + 9n^2$.
Это выражение является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$m^2 + 6mn + 9n^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot (3n) + (3n)^2 = (m + 3n)^2$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в дробь и сократим ее:
$\frac{m^2 - 9n^2}{m^2 + 6mn + 9n^2} = \frac{(m - 3n)(m + 3n)}{(m + 3n)^2}$
При условии, что $m + 3n \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(m + 3n)$:
$\frac{m - 3n}{m + 3n}$

4. Теперь подставим числовые значения $m = 3,2$ и $n = -0,4$ в упрощенное выражение.
Сначала проверим, выполняется ли условие $m + 3n \neq 0$:
$m + 3n = 3,2 + 3 \cdot (-0,4) = 3,2 - 1,2 = 2$.
Так как $2 \neq 0$, сокращение было выполнено корректно.

Теперь вычислим значение выражения:
$\frac{m - 3n}{m + 3n} = \frac{3,2 - 3 \cdot (-0,4)}{3,2 + 3 \cdot (-0,4)} = \frac{3,2 - (-1,2)}{3,2 - 1,2} = \frac{3,2 + 1,2}{2} = \frac{4,4}{2} = 2,2$

Ответ: 2,2

5. Постройте график функции $y = \frac{x^3 - 4x}{4 - x^2}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x^3 - 4x}{4 - x^2}$ необходимо сначала проанализировать и упростить её выражение.

1. Найдём область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому необходимо исключить значения $x$, при которых $4 - x^2 = 0$.
$x^2 \neq 4$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Следовательно, область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим выражение функции.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Числитель: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.
Знаменатель: $4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)$.
Подставим полученные выражения в исходную функцию:
$y = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{-(x - 2)(x + 2)}$

3. Сократим дробь.
Так как $x \neq 2$ и $x \neq -2$, мы можем сократить общие множители $(x - 2)$ и $(x + 2)$ в числителе и знаменателе:
$y = \frac{x}{-1} = -x$.
Таким образом, график исходной функции представляет собой график линейной функции $y = -x$ с ограничениями, накладываемыми областью определения.

4. Определим координаты "выколотых" точек.
График нашей функции совпадает с графиком прямой $y = -x$ во всех точках, кроме тех, где $x = -2$ и $x = 2$. В этих точках на графике будут разрывы, которые изображаются в виде пустых кружочков ("выколотых" точек).
Найдём координаты этих точек, подставив соответствующие значения $x$ в упрощенную функцию $y = -x$:

• При $x = -2$, $y = -(-2) = 2$. Координаты первой выколотой точки: $(-2; 2)$.
• При $x = 2$, $y = -(2) = -2$. Координаты второй выколотой точки: $(2; -2)$.

5. Построение графика.
Строим прямую $y = -x$. Это прямая, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей и проходит через начало координат $(0;0)$. Затем на этой прямой отмечаем пустыми кружочками точки с координатами $(-2; 2)$ и $(2; -2)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^3 - 4x}{4 - x^2}$ является прямая $y = -x$, из которой исключены (выколоты) точки с координатами $(-2; 2)$ и $(2; -2)$.

6. Известно, что $ \frac{a}{a+b} = \frac{3}{4} $. Найдите значение выражения $ \frac{7a+3b}{3a-b} $.

Для решения данной задачи сначала необходимо найти соотношение между переменными a и b, используя данное нам равенство.

Нам известно, что $\frac{a}{a+b} = \frac{3}{4}$.

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), мы можем переписать это уравнение следующим образом:

$4 \cdot a = 3 \cdot (a+b)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4a = 3a + 3b$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной a в левую часть уравнения, чтобы выразить a через b:

$4a - 3a = 3b$

$a = 3b$

Теперь, зная соотношение между a и b, мы можем подставить выражение для a в искомую дробь $\frac{7a + 3b}{3a - b}$.

Подставляем $a = 3b$ в выражение:

$\frac{7(3b) + 3b}{3(3b) - b}$

Выполняем умножение в числителе и знаменателе:

$\frac{21b + 3b}{9b - b}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{24b}{8b}$

Сокращаем дробь на b (при условии, что $b \neq 0$, что следует из исходного уравнения, иначе знаменатель $a+b$ был бы равен нулю, если $a=0$).

$\frac{24}{8} = 3$

Таким образом, значение выражения равно 3.

Ответ: 3