Страница 14 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите, какое из данных выражений является дробным.

1) $6a + 7$

2) $6a + \frac{b}{7}$

3) $6a + \frac{7}{b}$

4) $6a + \frac{1}{7}$

Дробным рациональным выражением называется алгебраическое выражение, которое содержит операцию деления на переменную или на выражение с переменной. Целое выражение, в свою очередь, не содержит такого деления. Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $6a + 7$
Данное выражение является многочленом. Оно не содержит деления на переменную, следовательно, является целым выражением.

2) $6a + \frac{b}{7}$
В этом выражении деление осуществляется на число 7, а не на переменную. Такое выражение также является целым. Его можно представить в виде $6a + \frac{1}{7}b$.

3) $6a + \frac{7}{b}$
Это выражение содержит деление на переменную $b$ (переменная находится в знаменателе дроби). Следовательно, оно является дробным.

4) $6a + \frac{1}{7}$
Данное выражение является целым, так как в нем нет деления на переменную. Слагаемое $\frac{1}{7}$ — это числовая константа.

Таким образом, единственное выражение, которое является дробным, — это выражение под номером 3.
Ответ: 3

2. Укажите, какое из данных выражений является рациональной дробью.

1) $ \frac{m}{5n} - \frac{m}{3k} $

2) $ x^3 - \frac{x}{8} $

3) $ \frac{xy - 4c}{9p} $

4) $ (x + y)^2 - \frac{1}{m} $

Рациональной дробью называется выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — это многочлены, и $Q$ не является нулевым многочленом. Проанализируем каждое из предложенных выражений на соответствие этому определению.

1) Выражение $\frac{m}{5n} - \frac{m}{3k}$ является разностью двух рациональных дробей. Такое выражение является рациональным, но в данной форме оно не является одной рациональной дробью, а представляет собой операцию вычитания. Его можно преобразовать к виду одной рациональной дроби, приведя к общему знаменателю: $\frac{3mk - 5mn}{15nk}$.
Ответ: не является рациональной дробью.

2) Выражение $x^3 - \frac{x}{8}$ является разностью многочлена и дроби. Это рациональное выражение, но в исходной форме оно не является рациональной дробью. Его можно представить в виде одной дроби: $\frac{8x^3 - x}{8}$.
Ответ: не является рациональной дробью.

3) Выражение $\frac{xy - 4c}{9p}$ представлено в виде одной дроби. Числитель этой дроби, $xy - 4c$, является многочленом. Знаменатель, $9p$, также является ненулевым многочленом. Следовательно, это выражение полностью соответствует определению рациональной дроби.
Ответ: является рациональной дробью.

4) Выражение $(x + y)^2 - \frac{1}{m}$ является разностью многочлена и дроби. Это рациональное выражение, но в данной форме оно не является рациональной дробью. Его можно преобразовать к виду одной дроби: $\frac{m(x+y)^2 - 1}{m}$.
Ответ: не является рациональной дробью.

Таким образом, единственным выражением из предложенных, которое является рациональной дробью, является выражение под номером 3.

3. Найдите значение выражения:

1) $\frac{x+6}{x-2}$, если $x = -2$;

2) $\frac{m-n}{m+n}$, если $m = -4, n = 6$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{x + 6}{x - 2}$, если $x = -2$, нужно подставить данное значение $x$ в выражение:

$\frac{-2 + 6}{-2 - 2} = \frac{4}{-4} = -1$

Ответ: -1

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{m - n}{m + n}$, если $m = -4, n = 6$, нужно подставить данные значения $m$ и $n$ в выражение:

$\frac{-4 - 6}{-4 + 6} = \frac{-10}{2} = -5$

Ответ: -5

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{a - 8}{a - 5}$;

2) $\frac{11}{a - 7} - \frac{9}{a + 6}$;

3) $\frac{y^2 + 49}{y^2 - 49}$?

1) Выражение $\frac{a - 8}{a - 5}$ является дробью. Оно имеет смысл (определено) тогда, когда его знаменатель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение переменной $a$:
$a - 5 = 0$
$a = 5$
Таким образом, при $a = 5$ знаменатель дроби обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме 5.
Ответ: при $a \neq 5$.

2) Данное выражение $\frac{11}{a - 7} - \frac{9}{a + 6}$ является разностью двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из этих дробей не равен нулю.
Найдем значения переменной, при которых знаменатели обращаются в ноль:
1) $a - 7 = 0 \implies a = 7$
2) $a + 6 = 0 \implies a = -6$
Значит, переменная $a$ не может принимать значения 7 и -6. Выражение имеет смысл при всех других значениях $a$.
Ответ: при $a \neq 7$ и $a \neq -6$.

3) Выражение $\frac{y^2 + 49}{y^2 - 49}$ является дробью, которая имеет смысл, когда ее знаменатель не равен нулю.
Найдем значения переменной $y$, при которых знаменатель равен нулю:
$y^2 - 49 = 0$
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(y - 7)(y + 7) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$y - 7 = 0$ или $y + 7 = 0$
$y = 7$ или $y = -7$
Следовательно, при $y=7$ и $y=-7$ знаменатель обращается в ноль. Выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме 7 и -7.
Ответ: при $y \neq 7$ и $y \neq -7$.

5. Известно, что $3x + 9y = 4$. Найдите значение выражения $\frac{2x + 6y}{7}$.

По условию задачи нам дано уравнение $3x + 9y = 4$. Требуется найти значение выражения $\frac{2x + 6y}{7}$.

Для решения этой задачи преобразуем данное нам уравнение. В левой части уравнения $3x + 9y$ можно вынести за скобки общий множитель 3:
$3(x + 3y) = 4$

Из этого равенства мы можем найти, чему равно выражение в скобках:
$x + 3y = \frac{4}{3}$

Теперь рассмотрим выражение, значение которого нам нужно найти: $\frac{2x + 6y}{7}$. Преобразуем его числитель, вынеся за скобки общий множитель 2:
$2x + 6y = 2(x + 3y)$

Мы уже определили, что $x + 3y = \frac{4}{3}$. Подставим это значение в преобразованный числитель:
$2(x + 3y) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Таким образом, мы нашли значение числителя $2x + 6y$, оно равно $\frac{8}{3}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{2x + 6y}{7} = \frac{8/3}{7} = \frac{8}{3 \cdot 7} = \frac{8}{21}$

Ответ: $\frac{8}{21}$