Страница 20 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна дробь $\frac{28m^4n^{10}}{35m^8n^5}$?

1) $\frac{4n^2}{5m^2}$

2) $\frac{4n^5}{5m^4}$

3) $\frac{4n^2}{5m^4}$

4) $\frac{4n^5}{5m^2}$

Для упрощения дроби $\frac{28m^4n^{10}}{35m^8n^5}$ необходимо сократить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Разобьем задачу на три шага:

1. Сокращение числовых коэффициентов

Коэффициенты в числителе и знаменателе — это 28 и 35. Найдем их наибольший общий делитель. Оба числа делятся на 7.

$28 = 4 \cdot 7$

$35 = 5 \cdot 7$

Сокращаем дробь на 7:

$\frac{28}{35} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{4}{5}$

2. Сокращение степеней переменной m

Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$.

$\frac{m^4}{m^8} = m^{4-8} = m^{-4}$

Согласно свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$m^{-4} = \frac{1}{m^4}$

3. Сокращение степеней переменной n

Аналогично поступаем с переменной n:

$\frac{n^{10}}{n^5} = n^{10-5} = n^5$

Теперь объединим все полученные части в одно выражение:

$\frac{28m^4n^{10}}{35m^8n^5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{m^4} \cdot n^5 = \frac{4n^5}{5m^4}$

Сравнивая результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

2. Какой из приведённых одночленов является общим знаменателем дробей $ \frac{13}{12m^3 n^4 p} $ и $ \frac{15}{8m^4 n^2 p^6} $?

1) $20mnp$

2) $20m^4 n^3 p^4$

3) $24mn^2 p^4$

4) $24m^4 n^3 p^6$

Чтобы найти общий знаменатель для дробей $\frac{13}{12mn^3p^4}$ и $\frac{15}{8m^4n^2p^6}$, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, которыми являются одночлены $12mn^3p^4$ и $8m^4n^2p^6$.

Процесс нахождения НОК для одночленов включает в себя нахождение НОК для числовых коэффициентов и выбор наибольших степеней для каждой переменной.

1. Нахождение НОК для числовых коэффициентов

Сначала найдём наименьшее общее кратное для коэффициентов 12 и 8. Для этого разложим их на простые множители:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Чтобы найти НОК, берём каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножаем их: $НОК(12, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

2. Нахождение наибольших степеней для переменных

Далее, для каждой переменной ($m, n, p$) выберем наибольший показатель степени из тех, что присутствуют в знаменателях $12m^1n^3p^4$ и $8m^4n^2p^6$.

• Для переменной $m$: сравниваем степени $m^1$ и $m^4$. Наибольшая степень — $m^4$.
• Для переменной $n$: сравниваем степени $n^3$ и $n^2$. Наибольшая степень — $n^3$.
• Для переменной $p$: сравниваем степени $p^4$ и $p^6$. Наибольшая степень — $p^6$.

3. Формирование общего знаменателя

Общий знаменатель получается путём умножения НОК коэффициентов на переменные в их наивысших степенях: $24 \cdot m^4 \cdot n^3 \cdot p^6 = 24m^4n^3p^6$.

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $24m^4n^3p^6$

3. Сократите дробь:

1) $\frac{9a - 27a^3b}{9a^2}$;

2) $\frac{n^2 - 9}{n^3 - 3n^2}$;

3) $\frac{(x - y)(x + y) - (x - y)^2}{xy^3 - y^4}$;

4) $\frac{ac + b + a + bc}{am - 2b - 2a + bm}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{9a - 27a^3b}{9a^2}$, вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общий множитель для $9a$ и $27a^3b$ это $9a$.

$\frac{9a(1 - 3a^2b)}{9a^2}$

Теперь сократим общий множитель $9a$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{9a}(1 - 3a^2b)}{\cancel{9a} \cdot a} = \frac{1 - 3a^2b}{a}$

Ответ: $\frac{1 - 3a^2b}{a}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{n^2 - 9}{n^3 - 3n^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $n^2 - 9$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n^2 - 9 = (n - 3)(n + 3)$

В знаменателе $n^3 - 3n^2$ вынесем общий множитель $n^2$ за скобки:

$n^3 - 3n^2 = n^2(n - 3)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(n - 3)(n + 3)}{n^2(n - 3)}$

Сократим общий множитель $(n - 3)$:

$\frac{\cancel{(n - 3)}(n + 3)}{n^2\cancel{(n - 3)}} = \frac{n + 3}{n^2}$

Ответ: $\frac{n + 3}{n^2}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{(x - y)(x + y) - (x - y)^2}{xy^3 - y^4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x + y) - (x - y)^2 = (x - y)((x + y) - (x - y)) = (x - y)(x + y - x + y) = (x - y)(2y)$

В знаменателе вынесем общий множитель $y^3$ за скобки:

$xy^3 - y^4 = y^3(x - y)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{2y(x - y)}{y^3(x - y)}$

Сократим общие множители $y$ и $(x - y)$:

$\frac{2\cancel{y}\cancel{(x - y)}}{y^{\cancel{3}}y^2\cancel{(x - y)}} = \frac{2}{y^2}$

Ответ: $\frac{2}{y^2}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{ac + b + a + bc}{am - 2b - 2a + bm}$, разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

В числителе сгруппируем слагаемые:

$ac + b + a + bc = (ac + a) + (b + bc) = a(c + 1) + b(1 + c) = (a + b)(c + 1)$

В знаменателе сгруппируем слагаемые:

$am - 2b - 2a + bm = (am + bm) - (2b + 2a) = m(a + b) - 2(b + a) = (a + b)(m - 2)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a + b)(c + 1)}{(a + b)(m - 2)}$

Сократим общий множитель $(a + b)$:

$\frac{\cancel{(a + b)}(c + 1)}{\cancel{(a + b)}(m - 2)} = \frac{c + 1}{m - 2}$

Ответ: $\frac{c + 1}{m - 2}$

4. Найдите значение выражения $ \frac{4x^2 + 4xy + y^2}{4x^2 - y^2} $, если $ x = -6,5 $, $ y = -3 $.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, разложив числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель выражения $4x^2 + 4xy + y^2$ является квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=2x$ и $b=y$.

$4x^2 + 4xy + y^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = (2x + y)^2$.

Знаменатель выражения $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=2x$ и $b=y$.

$4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$.

Теперь подставим полученные разложения обратно в исходную дробь:

$\frac{4x^2 + 4xy + y^2}{4x^2 - y^2} = \frac{(2x + y)^2}{(2x - y)(2x + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2x + y)$, при условии, что он не равен нулю. Проверим это условие при заданных значениях $x = -6,5$ и $y = -3$:

$2x + y = 2 \cdot (-6,5) + (-3) = -13 - 3 = -16 \neq 0$.

Так как условие выполняется, мы можем выполнить сокращение:

$\frac{(2x + y)^{\cancel{2}}}{(2x - y)\cancel{(2x + y)}} = \frac{2x + y}{2x - y}$

Теперь подставим значения $x = -6,5$ и $y = -3$ в упрощенное выражение:

$\frac{2 \cdot (-6,5) + (-3)}{2 \cdot (-6,5) - (-3)} = \frac{-13 - 3}{-13 + 3} = \frac{-16}{-10} = 1,6$.

Ответ: $1,6$.

5. Постройте график функции $y = \frac{x - x^3}{x^2 - 1}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x - x^3}{x^2 - 1}$ проведем ее анализ и упрощение.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x^2 - 1 \neq 0$

$(x - 1)(x + 1) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.

Разложим числитель на множители:

$x - x^3 = x(1 - x^2) = -x(x^2 - 1)$

Теперь подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{-x(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$

Так как из области определения мы знаем, что $x^2 - 1 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(x^2 - 1)$:

$y = -x$

3. Построение графика.

Графиком функции является прямая $y = -x$, но с учетом области определения. Это означает, что на прямой будут две "выколотые" точки, соответствующие значениям $x=1$ и $x=-1$.

Найдем координаты этих точек:

• При $x = 1$, $y = -1$. Координаты первой выколотой точки $(1, -1)$.
• При $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Координаты второй выколотой точки $(-1, 1)$.

Таким образом, для построения графика необходимо:

1. Построить прямую $y = -x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, -2)$. Она является биссектрисой II и IV координатных четвертей.

2. На этой прямой отметить "пустыми" кружочками точки с координатами $(1, -1)$ и $(-1, 1)$, так как в этих точках функция не определена.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x - x^3}{x^2 - 1}$ является прямая $y = -x$ с выколотыми точками $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

6. Известно, что $ \frac{b}{b-c} = \frac{2}{3} $. Найдите значение выражения $ \frac{5b+4c}{b+5c} $.

Для решения данной задачи необходимо сначала выразить одну переменную через другую из исходного равенства, а затем подставить полученное выражение в искомую дробь.

Нам дано равенство:

$\frac{b}{b-c} = \frac{2}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$3 \cdot b = 2 \cdot (b - c)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$3b = 2b - 2c$

Теперь выразим переменную $b$ через $c$. Для этого перенесем все члены с $b$ в одну сторону, а с $c$ — в другую:

$3b - 2b = -2c$

$b = -2c$

Теперь у нас есть соотношение между $b$ и $c$. Подставим выражение для $b$ в искомую дробь:

$\frac{5b + 4c}{b + 5c}$

Заменяем каждое вхождение $b$ на $-2c$:

$\frac{5(-2c) + 4c}{(-2c) + 5c}$

Выполним умножение и сложение в числителе и знаменателе:

$\frac{-10c + 4c}{-2c + 5c} = \frac{-6c}{3c}$

Сократим полученную дробь на $c$ (мы можем это сделать, так как если бы $c=0$, то и $b=0$, что привело бы к делению на ноль в исходном выражении):

$\frac{-6}{3} = -2$

Ответ: -2