Номер 5, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $y = \frac{x - x^3}{x^2 - 1}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x - x^3}{x^2 - 1}$ проведем ее анализ и упрощение.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x^2 - 1 \neq 0$

$(x - 1)(x + 1) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.

Разложим числитель на множители:

$x - x^3 = x(1 - x^2) = -x(x^2 - 1)$

Теперь подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{-x(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$

Так как из области определения мы знаем, что $x^2 - 1 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(x^2 - 1)$:

$y = -x$

3. Построение графика.

Графиком функции является прямая $y = -x$, но с учетом области определения. Это означает, что на прямой будут две "выколотые" точки, соответствующие значениям $x=1$ и $x=-1$.

Найдем координаты этих точек:

• При $x = 1$, $y = -1$. Координаты первой выколотой точки $(1, -1)$.
• При $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Координаты второй выколотой точки $(-1, 1)$.

Таким образом, для построения графика необходимо:

1. Построить прямую $y = -x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, -2)$. Она является биссектрисой II и IV координатных четвертей.

2. На этой прямой отметить "пустыми" кружочками точки с координатами $(1, -1)$ и $(-1, 1)$, так как в этих точках функция не определена.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x - x^3}{x^2 - 1}$ является прямая $y = -x$ с выколотыми точками $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.