Номер 3, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $\frac{3x - 2y}{14xy} + \frac{4x - 19y}{14xy};$

2) $\frac{a^2 + 16}{a - 4} - \frac{8a}{a - 4};$

3) $\frac{4 - m}{m - 3} + \frac{2m - 5}{3 - m};$

4) $\frac{5c - 1}{(c - 2)^2} - \frac{3c + 3}{(2 - c)^2}.$

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{3x - 2y}{14xy} + \frac{4x - 19y}{14xy} = \frac{(3x - 2y) + (4x - 19y)}{14xy}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3x + 4x - 2y - 19y}{14xy} = \frac{7x - 21y}{14xy}$

Вынесем общий множитель 7 в числителе:

$\frac{7(x - 3y)}{14xy}$

Сократим дробь на 7:

$\frac{x - 3y}{2xy}$

Ответ: $\frac{x - 3y}{2xy}$

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{a^2 + 16}{a - 4} - \frac{8a}{a - 4} = \frac{a^2 + 16 - 8a}{a - 4} = \frac{a^2 - 8a + 16}{a - 4}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$\frac{(a - 4)^2}{a - 4}$

Сократим дробь на $(a - 4)$:

$a - 4$

Ответ: $a - 4$

3) Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $3 - m = -(m - 3)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(m - 3)$, изменив знак перед второй дробью и в ее знаменателе.

$\frac{4 - m}{m - 3} + \frac{2m - 5}{3 - m} = \frac{4 - m}{m - 3} - \frac{2m - 5}{m - 3}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(4 - m) - (2m - 5)}{m - 3} = \frac{4 - m - 2m + 5}{m - 3} = \frac{9 - 3m}{m - 3}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(3 - m)}{m - 3}$

Так как $3 - m = -(m - 3)$, можем переписать выражение:

$\frac{-3(m - 3)}{m - 3}$

Сократим дробь на $(m - 3)$:

$-3$

Ответ: $-3$

4) Обратим внимание на знаменатели. Так как $(2 - c)^2 = (-(c - 2))^2 = (c - 2)^2$, знаменатели дробей одинаковы.

$\frac{5c - 1}{(c - 2)^2} - \frac{3c + 3}{(2 - c)^2} = \frac{5c - 1}{(c - 2)^2} - \frac{3c + 3}{(c - 2)^2}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(5c - 1) - (3c + 3)}{(c - 2)^2} = \frac{5c - 1 - 3c - 3}{(c - 2)^2} = \frac{2c - 4}{(c - 2)^2}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(c - 2)}{(c - 2)^2}$

Сократим дробь на $(c - 2)$:

$\frac{2}{c - 2}$

Ответ: $\frac{2}{c - 2}$