Номер 3, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $\frac{b - 12c}{15bc} + \frac{4b - 3c}{15bc}$;

2) $\frac{a^2 + 49}{a - 7} - \frac{14a}{a - 7}$;

3) $\frac{4x - 3}{x - 2} + \frac{1 + 2x}{2 - x}$;

4) $\frac{4m - 2}{(1 - m)^2} - \frac{3 - m}{(m - 1)^2}$.

1)

Чтобы упростить выражение $ \frac{b - 12c}{15bc} + \frac{4b - 3c}{15bc} $, сложим числители дробей, так как их знаменатели одинаковы:

$ \frac{b - 12c + 4b - 3c}{15bc} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (b + 4b) + (-12c - 3c) = 5b - 15c $

Получаем дробь:

$ \frac{5b - 15c}{15bc} $

Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:

$ \frac{5(b - 3c)}{15bc} $

Сократим дробь на 5:

$ \frac{b - 3c}{3bc} $

Ответ: $ \frac{b - 3c}{3bc} $

2)

Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2 + 49}{a - 7} - \frac{14a}{a - 7} $, вычтем числители дробей, так как их знаменатели одинаковы:

$ \frac{a^2 + 49 - 14a}{a - 7} = \frac{a^2 - 14a + 49}{a - 7} $

Числитель представляет собой полный квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $. В нашем случае это $ (a-7)^2 $:

$ \frac{(a - 7)^2}{a - 7} $

Сократим дробь на $ (a - 7) $:

$ a - 7 $

Ответ: $ a - 7 $

3)

Чтобы упростить выражение $ \frac{4x - 3}{x - 2} + \frac{1 + 2x}{2 - x} $, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ 2 - x = -(x - 2) $.

Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$ \frac{4x - 3}{x - 2} - \frac{1 + 2x}{x - 2} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$ \frac{(4x - 3) - (1 + 2x)}{x - 2} = \frac{4x - 3 - 1 - 2x}{x - 2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2x - 4}{x - 2} $

Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$ \frac{2(x - 2)}{x - 2} $

Сократим дробь на $ (x - 2) $:

$ 2 $

Ответ: $ 2 $

4)

Чтобы упростить выражение $ \frac{4m - 2}{(1 - m)^2} - \frac{3 - m}{(m - 1)^2} $, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ (1 - m)^2 = (-(m - 1))^2 = (m - 1)^2 $. Знаменатели уже одинаковы.

Вычтем числители:

$ \frac{(4m - 2) - (3 - m)}{(m - 1)^2} = \frac{4m - 2 - 3 + m}{(m - 1)^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{5m - 5}{(m - 1)^2} $

Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:

$ \frac{5(m - 1)}{(m - 1)^2} $

Сократим дробь на $ (m - 1) $:

$ \frac{5}{m - 1} $

Ответ: $ \frac{5}{m - 1} $