Номер 4, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите все целые значения $n$, при которых является целым числом значение выражения $\frac{6n+1}{3n+4}$.

Для того чтобы значение выражения $\frac{6n + 1}{3n + 4}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $(6n + 1)$ делился на знаменатель $(3n + 4)$ без остатка. Мы ищем все целые значения $n$, удовлетворяющие этому условию.

Преобразуем данное выражение, выделив в нем целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель. Мы можем "подогнать" числитель так, чтобы он содержал выражение из знаменателя:

$6n + 1 = 2(3n) + 1$

Чтобы получить в скобках $3n+4$, добавим и вычтем $2 \cdot 4 = 8$:

$6n + 1 = 2(3n + 4) - 8 + 1 = 2(3n + 4) - 7$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{6n + 1}{3n + 4} = \frac{2(3n + 4) - 7}{3n + 4}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{2(3n + 4)}{3n + 4} - \frac{7}{3n + 4} = 2 - \frac{7}{3n + 4}$

Исходное выражение будет целым числом тогда и только тогда, когда выражение $2 - \frac{7}{3n + 4}$ является целым. Поскольку $2$ — это целое число, для этого необходимо, чтобы дробь $\frac{7}{3n + 4}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(3n + 4)$ является делителем числителя $7$.

Целыми делителями числа $7$ являются: $1, -1, 7, -7$.

Рассмотрим все четыре возможных случая для значения выражения $3n + 4$:

1. $3n + 4 = 1$
$3n = 1 - 4$
$3n = -3$
$n = -1$
Поскольку $n = -1$ является целым числом, это одно из решений.

2. $3n + 4 = -1$
$3n = -1 - 4$
$3n = -5$
$n = -\frac{5}{3}$
Это значение не является целым, поэтому оно не является решением.

3. $3n + 4 = 7$
$3n = 7 - 4$
$3n = 3$
$n = 1$
Поскольку $n = 1$ является целым числом, это второе решение.

4. $3n + 4 = -7$
$3n = -7 - 4$
$3n = -11$
$n = -\frac{11}{3}$
Это значение не является целым, поэтому оно не является решением.

Таким образом, только два целых значения $n$ делают исходное выражение целым числом.

Ответ: $-1; 1$.