Страница 23 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна сумма $ \frac{6m}{n^2 p} + \frac{9n - 6m}{n^2 p} $?

1) $ \frac{9}{n^2 p} $

2) $ \frac{9}{np} $

3) $ \frac{12m + 9n}{n^2 p} $

4) $ \frac{9}{p} $

Для того чтобы найти сумму двух дробей $\frac{6m}{n^2p}$ и $\frac{9n - 6m}{n^2p}$, необходимо сложить их числители, так как их знаменатели одинаковы. Знаменатель при этом остается прежним.

Выполним сложение:

$\frac{6m}{n^2p} + \frac{9n - 6m}{n^2p} = \frac{6m + (9n - 6m)}{n^2p}$

Теперь упростим выражение в числителе. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6m + 9n - 6m = (6m - 6m) + 9n = 0 + 9n = 9n$

После упрощения числителя дробь принимает вид:

$\frac{9n}{n^2p}$

На последнем шаге сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их общий множитель $n$ (при условии, что $n \neq 0$):

$\frac{9n}{n^2p} = \frac{9 \cdot n}{n \cdot n \cdot p} = \frac{9}{np}$

Среди предложенных вариантов ответа, полученное выражение $\frac{9}{np}$ соответствует варианту под номером 2.

Ответ: $\frac{9}{np}$

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $ \frac{15a - 4c}{6a - c} - \frac{3a - 2c}{6a - c} $?

1) $ \frac{12a - 6c}{6a - c} $

2) $ \frac{18a - 6c}{6a - c} $

3) $ 12a - 2c $

4) $ 2 $

Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.

$$ \frac{15a - 4c}{6a - c} - \frac{3a - 2c}{6a - c} = \frac{(15a - 4c) - (3a - 2c)}{6a - c} $$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в этой скобке на противоположные:

$$ \frac{15a - 4c - 3a + 2c}{6a - c} $$

Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{(15a - 3a) + (-4c + 2c)}{6a - c} = \frac{12a - 2c}{6a - c} $$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$$ \frac{2(6a - c)}{6a - c} $$

Сократим дробь на общий множитель $(6a - c)$, при условии, что $6a - c \neq 0$:

$$ \frac{2\cancel{(6a - c)}}{\cancel{(6a - c)}} = 2 $$

Полученное значение равно 2, что соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

3. Упростите выражение:

1) $ \frac{8a^2 + 5}{a} + \frac{2a^2 - 5}{a}; $

2) $ \frac{2 - 7x}{x - 6} + \frac{9x - 4}{x - 6} - \frac{46 - 6x}{x - 6}; $

3) $ \frac{9b + 5}{b^2 - 9} - \frac{8b + 8}{b^2 - 9}; $

4) $ \frac{13 - 6x}{(x - 3)(2 - x)} + \frac{4 - x^2}{(x - 3)(x - 2)}. $

4. Найдите все целые значения $n$, при которых является целым числом значение выражения $\frac{6n+1}{3n+4}$.

Для того чтобы значение выражения $\frac{6n + 1}{3n + 4}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $(6n + 1)$ делился на знаменатель $(3n + 4)$ без остатка. Мы ищем все целые значения $n$, удовлетворяющие этому условию.

Преобразуем данное выражение, выделив в нем целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель. Мы можем "подогнать" числитель так, чтобы он содержал выражение из знаменателя:

$6n + 1 = 2(3n) + 1$

Чтобы получить в скобках $3n+4$, добавим и вычтем $2 \cdot 4 = 8$:

$6n + 1 = 2(3n + 4) - 8 + 1 = 2(3n + 4) - 7$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{6n + 1}{3n + 4} = \frac{2(3n + 4) - 7}{3n + 4}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{2(3n + 4)}{3n + 4} - \frac{7}{3n + 4} = 2 - \frac{7}{3n + 4}$

Исходное выражение будет целым числом тогда и только тогда, когда выражение $2 - \frac{7}{3n + 4}$ является целым. Поскольку $2$ — это целое число, для этого необходимо, чтобы дробь $\frac{7}{3n + 4}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(3n + 4)$ является делителем числителя $7$.

Целыми делителями числа $7$ являются: $1, -1, 7, -7$.

Рассмотрим все четыре возможных случая для значения выражения $3n + 4$:

1. $3n + 4 = 1$
$3n = 1 - 4$
$3n = -3$
$n = -1$
Поскольку $n = -1$ является целым числом, это одно из решений.

2. $3n + 4 = -1$
$3n = -1 - 4$
$3n = -5$
$n = -\frac{5}{3}$
Это значение не является целым, поэтому оно не является решением.

3. $3n + 4 = 7$
$3n = 7 - 4$
$3n = 3$
$n = 1$
Поскольку $n = 1$ является целым числом, это второе решение.

4. $3n + 4 = -7$
$3n = -7 - 4$
$3n = -11$
$n = -\frac{11}{3}$
Это значение не является целым, поэтому оно не является решением.

Таким образом, только два целых значения $n$ делают исходное выражение целым числом.

Ответ: $-1; 1$.