Страница 30 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите дробь, тождественно равную произведению

$\frac{12m^4}{n^{10}} \cdot \frac{n^5}{48m^8}$

1) $\frac{1}{4m^2 n^2}$

2) $\frac{4}{m^2 n^2}$

3) $\frac{1}{4m^4 n^5}$

4) $\frac{4}{m^4 n^5}$

Чтобы найти дробь, тождественно равную произведению, необходимо выполнить умножение дробей и упростить (сократить) полученное выражение.

Исходное выражение:

$$ \frac{12m^4}{n^{10}} \cdot \frac{n^5}{48m^8} $$

1. Перемножим числители и знаменатели дробей.

При умножении дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй:

$$ \frac{12m^4 \cdot n^5}{n^{10} \cdot 48m^8} $$

2. Сократим числовые коэффициенты.

Сократим дробь $ \frac{12}{48} $. Наибольший общий делитель для чисел 12 и 48 равен 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:

$$ \frac{12}{48} = \frac{12 \div 12}{48 \div 12} = \frac{1}{4} $$

Теперь выражение выглядит так:

$$ \frac{1 \cdot m^4 n^5}{4 \cdot n^{10} m^8} = \frac{m^4 n^5}{4n^{10} m^8} $$

3. Сократим степени переменных.

Воспользуемся свойством степени $ \frac{a^x}{a^y} = \frac{1}{a^{y-x}} $ при $y > x$.

Для переменной $m$:

$$ \frac{m^4}{m^8} = \frac{1}{m^{8-4}} = \frac{1}{m^4} $$

Для переменной $n$:

$$ \frac{n^5}{n^{10}} = \frac{1}{n^{10-5}} = \frac{1}{n^5} $$

4. Запишем итоговый результат.

Объединим все полученные части (числовой коэффициент и переменные):

$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{m^4} \cdot \frac{1}{n^5} = \frac{1}{4m^4n^5} $$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $ \frac{1}{4m^4n^5} $

2. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$\left(-\frac{2x^6}{y^5}\right)^3$.

1) $\frac{8x^{18}}{y^{15}}$

2) $\frac{8x^9}{y^8}$

3) $-\frac{8x^{18}}{y^{15}}$

4) $-\frac{8x^9}{y^8}$

Чтобы найти дробь, тождественно равную заданному выражению, необходимо возвести в третью степень дробь $ \left(-\frac{2x^6}{y^5}\right) $.

Воспользуемся свойством возведения дроби в степень: $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $. В нашем случае $ a = -2x^6 $, $ b = y^5 $, а $ n = 3 $.

$ \left(-\frac{2x^6}{y^5}\right)^3 = \frac{(-2x^6)^3}{(y^5)^3} $

Теперь необходимо возвести в степень числитель и знаменатель.

Для числителя используем свойство возведения произведения в степень $ (ab)^n = a^n b^n $:

$ (-2x^6)^3 = (-2)^3 \cdot (x^6)^3 $

Вычислим $ (-2)^3 $:

$ (-2)^3 = -8 $

Для возведения степени в степень $ (x^6)^3 $ воспользуемся свойством $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:

$ (x^6)^3 = x^{6 \cdot 3} = x^{18} $

Таким образом, числитель равен $ -8x^{18} $.

Аналогично для знаменателя:

$ (y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15} $

Собираем полученные числитель и знаменатель в одну дробь:

$ \frac{-8x^{18}}{y^{15}} = -\frac{8x^{18}}{y^{15}} $

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) $ -\frac{8x^{18}}{y^{15}} $

3. Упростите выражение:

1) $36x^6 \cdot \frac{2y^3}{9x^8};$

2) $\frac{7m}{m - n} \cdot \frac{mn - n^2}{28m};$

3) $\frac{8a}{a^2 - 25b^2} \cdot (a^2 + 5ab);$

4) $\left(\frac{m}{n^3}\right)^5 \cdot \left(\frac{n^5}{m^3}\right)^2;$

5) $\frac{3a^4}{b^3} : (27ab^2);$

6) $\frac{3x + 24}{12x - 18} : \frac{x^2 - 64}{2x - 3}.$

1) Чтобы упростить выражение, представим $36x^6$ в виде дроби $\frac{36x^6}{1}$ и выполним умножение дробей:

$36x^6 \cdot \frac{2y^3}{9x^8} = \frac{36x^6 \cdot 2y^3}{9x^8}$

Теперь сократим полученную дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{36}{9} = 4$

Затем сократим степени с одинаковым основанием $x$, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^6}{x^8} = x^{6-8} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Соберем все части вместе:

$\frac{4 \cdot 2y^3}{x^2} = \frac{8y^3}{x^2}$

Ответ: $\frac{8y^3}{x^2}$.

2) Для упрощения выражения сначала разложим на множители числитель второй дроби, вынеся общий множитель $n$ за скобки:

$mn - n^2 = n(m-n)$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{7m}{m-n} \cdot \frac{n(m-n)}{28m}$

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(m-n)$, сокращаем $m$, а также сокращаем числовые коэффициенты $7$ и $28$ (на $7$):

$\frac{\cancel{7}\cancel{m}}{\cancel{m-n}} \cdot \frac{n\cancel{(m-n)}}{\cancel{28}_4\cancel{m}} = \frac{n}{4}$

Ответ: $\frac{n}{4}$.

3) Разложим на множители знаменатель дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a^2 - 25b^2 = a^2 - (5b)^2 = (a-5b)(a+5b)$.

Во втором множителе $(a^2 + 5ab)$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a+5b)$.

Исходное выражение примет вид:

$\frac{8a}{(a-5b)(a+5b)} \cdot a(a+5b)$

Запишем всё в виде одной дроби и сократим общий множитель $(a+5b)$:

$\frac{8a \cdot a(a+5b)}{(a-5b)(a+5b)} = \frac{8a^2}{a-5b}$

Ответ: $\frac{8a^2}{a-5b}$.

4) Воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Применим эти свойства к каждому множителю:

$(\frac{m}{n^3})^5 = \frac{m^5}{(n^3)^5} = \frac{m^5}{n^{15}}$

$(\frac{n^5}{m^3})^2 = \frac{(n^5)^2}{(m^3)^2} = \frac{n^{10}}{m^6}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{m^5}{n^{15}} \cdot \frac{n^{10}}{m^6} = \frac{m^5 n^{10}}{n^{15} m^6}$

Сократим дроби, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$:

$\frac{m^5}{m^6} = \frac{1}{m^{6-5}} = \frac{1}{m}$

$\frac{n^{10}}{n^{15}} = \frac{1}{n^{15-10}} = \frac{1}{n^5}$

В результате получаем:

$\frac{1}{m \cdot n^5} = \frac{1}{mn^5}$

Ответ: $\frac{1}{mn^5}$.

5) Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение. Заменим знак деления на умножение:

$\frac{3a^4}{b^3} : (27ab^2) = \frac{3a^4}{b^3} \cdot \frac{1}{27ab^2}$

Перемножим дроби:

$\frac{3a^4}{b^3 \cdot 27ab^2} = \frac{3a^4}{27ab^5}$

Сократим числовые коэффициенты ($\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$) и переменные ($\frac{a^4}{a} = a^3$):

$\frac{a^3}{9b^5}$

Ответ: $\frac{a^3}{9b^5}$.

6) Заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$\frac{3x + 24}{12x - 18} : \frac{x^2 - 64}{2x - 3} = \frac{3x + 24}{12x - 18} \cdot \frac{2x - 3}{x^2 - 64}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели всех дробей:

$3x + 24 = 3(x+8)$

$12x - 18 = 6(2x-3)$

$x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x-8)(x+8)$ (по формуле разности квадратов)

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{3(x+8)}{6(2x-3)} \cdot \frac{2x-3}{(x-8)(x+8)}$

Сократим общие множители: $(x+8)$ и $(2x-3)$, а также числовые коэффициенты $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$:

$\frac{\cancel{3}\cancel{(x+8)}}{\cancel{6}_2\cancel{(2x-3)}} \cdot \frac{\cancel{2x-3}}{(x-8)\cancel{(x+8)}} = \frac{1}{2(x-8)}$

Ответ: $\frac{1}{2(x-8)}$.

4. Найдите значение выражения $(x + 2) : \frac{x^2 + 4x + 4}{x - 2}$, если $x = -12$.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Заметим, что числитель дроби $x^2 + 4x + 4$ представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=2$, поэтому $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$(x + 2) : \frac{x^2 + 4x + 4}{x - 2} = (x + 2) : \frac{(x+2)^2}{x - 2}$

Операция деления на дробь эквивалентна умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$(x + 2) \cdot \frac{x - 2}{(x+2)^2}$

Представим выражение в виде одной дроби и сократим общий множитель $(x+2)$ (при условии $x \neq -2$):

$\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x+2)^2} = \frac{x - 2}{x + 2}$

Теперь подставим в полученное упрощенное выражение значение $x = -12$:

$\frac{-12 - 2}{-12 + 2} = \frac{-14}{-10}$

Разделив числитель на знаменатель, получаем:

$\frac{-14}{-10} = 1.4$

Ответ: 1.4