Страница 34 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равно выражение $(\frac{a-b}{b} + \frac{b}{a+b}) : \frac{a}{b}$?

1) $a$

2) $\frac{a}{a+b}$

3) $\frac{b}{a+b}$

4) $\frac{a}{b}$

Для решения данной задачи необходимо последовательно упростить выражение, выполняя действия в скобках, а затем деление.

1. Выполним сложение дробей в скобках.

Чтобы сложить дроби $ \frac{a-b}{b} $ и $ \frac{b}{a+b} $, приведем их к общему знаменателю $ b(a+b) $. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a+b) $, а второй — на $ b $:

$ \frac{a-b}{b} + \frac{b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{b(a+b)} + \frac{b \cdot b}{b(a+b)} $

Раскроем скобки в числителе первой дроби, используя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $:

$ \frac{a^2 - b^2}{b(a+b)} + \frac{b^2}{b(a+b)} $

Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений:

$ \frac{a^2 - b^2 + b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2}{b(a+b)} $

2. Выполним деление.

Теперь разделим результат, полученный в первом действии, на дробь $ \frac{a}{b} $. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{a^2}{b(a+b)} : \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b(a+b)} \cdot \frac{b}{a} $

3. Сократим полученное выражение.

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^2 \cdot b}{b(a+b) \cdot a} = \frac{a \cdot a \cdot b}{b \cdot (a+b) \cdot a} $

Сокращаем на $ a $ и на $ b $:

$ \frac{a}{a+b} $

Результат упрощения выражения — $ \frac{a}{a+b} $, что соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $ \frac{a}{a+b} $

2. Известно, что $a = 1 - \frac{b}{c}$. Укажите верное равенство.

1) $c = \frac{1-a}{b}$

2) $c = \frac{b}{1-a}$

3) $c = \frac{b}{1+a}$

4) $c = b(1-a)$

Чтобы выразить переменную c из заданного уравнения $a = 1 - \frac{b}{c}$, выполним следующие шаги:

1. Перенесем член $\frac{b}{c}$ в левую часть уравнения, а член a в правую. При переносе через знак равенства их знаки меняются на противоположные:

$\frac{b}{c} = 1 - a$

2. Теперь у нас есть пропорция. Чтобы найти c, мы можем "перевернуть" обе дроби (взять обратные величины), либо выразить c напрямую. Умножим обе части уравнения на c:

$b = (1 - a) \cdot c$

3. Наконец, разделим обе части уравнения на $(1 - a)$, чтобы выделить c. Это возможно при условии, что $1 - a \neq 0$.

$c = \frac{b}{1 - a}$

Сравнив полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту 2.

Таким образом, верное равенство:

2) $c = \frac{b}{1 - a}$

Ответ: 2

3. Докажите тождество:

$\left(\frac{y-4}{y+4} - \frac{y+4}{y-4}\right) : \frac{16}{y^2-16} = -y.$

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Будем выполнять действия по порядку.

1. Выполнение вычитания в скобках.

Первым действием упростим выражение в скобках: $ \frac{y-4}{y+4} - \frac{y+4}{y-4} $.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $ (y+4)(y-4) $.

$ \frac{y-4}{y+4} - \frac{y+4}{y-4} = \frac{(y-4)(y-4)}{(y+4)(y-4)} - \frac{(y+4)(y+4)}{(y+4)(y-4)} = \frac{(y-4)^2 - (y+4)^2}{(y+4)(y-4)} $

Числитель полученной дроби можно упростить, применив формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = y-4 $, а $ b = y+4 $:

$ (y-4)^2 - (y+4)^2 = ((y-4) - (y+4)) \cdot ((y-4) + (y+4)) = (y-4-y-4) \cdot (y-4+y+4) = (-8) \cdot (2y) = -16y $

Знаменатель $ (y+4)(y-4) $ по той же формуле разности квадратов равен $ y^2 - 16 $.

Таким образом, результат выражения в скобках равен:

$ \frac{-16y}{y^2 - 16} $

2. Выполнение деления.

Теперь разделим результат первого действия на дробь $ \frac{16}{y^2 - 16} $:

$ \frac{-16y}{y^2 - 16} : \frac{16}{y^2 - 16} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{-16y}{y^2 - 16} \cdot \frac{y^2 - 16}{16} $

Сократим общие множители $ 16 $ и $ (y^2 - 16) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{-16y \cdot (y^2 - 16)}{16 \cdot (y^2 - 16)} = -y $

В результате преобразований левая часть исходного выражения $ \left(\frac{y-4}{y+4} - \frac{y+4}{y-4}\right) : \frac{16}{y^2 - 16} $ стала равна $ -y $, что в точности совпадает с правой частью тождества.

Ответ: Тождество доказано.

4. Найдите значение выражения $(\frac{2a}{3b} - \frac{3b}{2a}) : (2a + 3b)$, если $a = \frac{1}{6}, b = \frac{1}{3}$.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него числовые значения переменных.

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $6ab$:

$ \frac{2a}{3b} - \frac{3b}{2a} = \frac{2a \cdot 2a}{3b \cdot 2a} - \frac{3b \cdot 3b}{2a \cdot 3b} = \frac{4a^2 - 9b^2}{6ab} $

2. Числитель полученной дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ 4a^2 - 9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2 = (2a - 3b)(2a + 3b) $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{(2a - 3b)(2a + 3b)}{6ab} $

3. Теперь выполним деление:

$ \frac{(2a - 3b)(2a + 3b)}{6ab} : (2a + 3b) = \frac{(2a - 3b)(2a + 3b)}{6ab} \cdot \frac{1}{2a + 3b} $

Сократим дробь на общий множитель $(2a + 3b)$:

$ \frac{2a - 3b}{6ab} $

4. Подставим заданные значения $a = \frac{1}{6}$ и $b = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение.

Сначала вычислим числитель:

$ 2a - 3b = 2 \cdot \frac{1}{6} - 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{6} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3} $

Затем вычислим знаменатель:

$ 6ab = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $

5. Найдем значение всего выражения:

$ \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1} = -2 $

Ответ: -2

5. Первую половину маршрута турист прошёл со скоростью 6 км/ч, а вторую — со скоростью 4 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста на протяжении всего пути.

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.
Пусть весь маршрут равен $S$. Тогда первая половина маршрута равна $\frac{S}{2}$, и вторая половина также равна $\frac{S}{2}$.
Скорость туриста на первой половине пути $v_1 = 6$ км/ч.
Скорость туриста на второй половине пути $v_2 = 4$ км/ч.
Время, затраченное на прохождение первого участка, найдем по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$:
$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{6} = \frac{S}{12}$ ч.
Время, затраченное на прохождение второго участка:
$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S/2}{4} = \frac{S}{8}$ ч.
Общее время движения равно сумме времени на каждом участке:
$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{12} + \frac{S}{8}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 24:
$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{24} + \frac{3 \cdot S}{24} = \frac{2S + 3S}{24} = \frac{5S}{24}$ ч.
Теперь можем найти среднюю скорость, подставив значения общего пути $S$ и общего времени $t_{общ}$ в исходную формулу:
$v_{ср} = \frac{S}{\frac{5S}{24}} = S \cdot \frac{24}{5S} = \frac{24}{5} = 4,8$ км/ч.

Ответ: 4,8 км/ч.