Страница 38 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Среди данных пар уравнений укажите пару неравносильных уравнений.

1) $x - 2 = 4$ и $\frac{x}{2} = 3$

2) $(x - 2)(x^2 + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$

3) $(x - 2)(x + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$

4) $|x| = -1$ и $\frac{8}{x} = 0$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если множества решений не совпадают, уравнения называются неравносильными. Чтобы найти пару неравносильных уравнений, нужно найти решения для каждого уравнения в предложенных парах и сравнить полученные множества решений.

1) $x - 2 = 4$ и $\frac{x}{2} = 3$

Решим первое уравнение:
$x - 2 = 4$
$x = 4 + 2$
$x = 6$
Множество решений первого уравнения: $\{6\}$.

Решим второе уравнение:
$\frac{x}{2} = 3$
$x = 3 \cdot 2$
$x = 6$
Множество решений второго уравнения: $\{6\}$.

Множества решений уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

2) $(x - 2)(x^2 + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$

Решим первое уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0$ или $x^2 + 1 = 0$.
Из $x - 2 = 0$ следует, что $x = 2$.
Уравнение $x^2 + 1 = 0$ (или $x^2 = -1$) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственным решением первого уравнения является $x = 2$. Множество решений: $\{2\}$.

Решим второе уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Множество решений второго уравнения: $\{2\}$.

Множества решений уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

3) $(x - 2)(x + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$

Решим первое уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0$ или $x + 1 = 0$.
Из $x - 2 = 0$ следует, что $x = 2$.
Из $x + 1 = 0$ следует, что $x = -1$.
Множество решений первого уравнения: $\{-1, 2\}$.

Решим второе уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Множество решений второго уравнения: $\{2\}$.

Множества решений уравнений не совпадают ($\{-1, 2\} \neq \{2\}$), так как первое уравнение имеет дополнительный корень $x = -1$. Следовательно, уравнения неравносильны.
Ответ: неравносильны.

4) $|x| = -1$ и $\frac{8}{x} = 0$

Рассмотрим первое уравнение: $|x| = -1$.
Модуль (абсолютное значение) любого числа по определению неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет решений.
Множество решений первого уравнения — пустое множество ($\emptyset$).

Рассмотрим второе уравнение: $\frac{8}{x} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. В данном случае числитель равен 8 (не равен нулю). Следовательно, это уравнение также не имеет решений.
Множество решений второго уравнения — пустое множество ($\emptyset$).

Множества решений обоих уравнений пусты, то есть они совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

Итак, единственной парой неравносильных уравнений является пара под номером 3.

2. Решите уравнение $ \frac{x^2 - 121}{x + 11} = 0 $.

1) 11

2) -11

3) -11; 11

4) корней нет

Дробно-рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$ \begin{cases} x^2 - 121 = 0, \\ x + 11 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы: $x^2 - 121 = 0$.

Это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 11^2 = 0$

$(x - 11)(x + 11) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x - 11 = 0 \implies x_1 = 11$

$x + 11 = 0 \implies x_2 = -11$

Теперь проверим эти корни на соответствие второму условию системы (области допустимых значений), согласно которому знаменатель не должен быть равен нулю:

$x + 11 \neq 0$

$x \neq -11$

Из двух найденных корней ($11$ и $-11$) корень $x_2 = -11$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним и должен быть отброшен.

Единственным решением уравнения является корень $x_1 = 11$.

Ответ: 11

3. Решите уравнение:

1) $\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{6x + 1}{6x - 1};$

2) $\frac{x^2 + 6x + 7}{x + 7} = 1;$

3) $\frac{12x - 7}{x + 5} = \frac{9x - 22}{x + 5}.$

1) $\frac{x-1}{x+2} = \frac{6x+1}{6x-1}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$6x-1 \neq 0 \implies 6x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{6}$

Теперь решим уравнение, используя основное свойство пропорции (умножая крест-накрест):

$(x-1)(6x-1) = (6x+1)(x+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6x^2 - x - 6x + 1 = 6x^2 + 12x + x + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$6x^2 - 7x + 1 = 6x^2 + 13x + 2$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а постоянные члены — в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$-7x - 13x = 2 - 1$

$-20x = 1$

$x = -\frac{1}{20}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $-\frac{1}{20} \neq -2$ и $-\frac{1}{20} \neq \frac{1}{6}$, то корень является решением уравнения.

Ответ: $-\frac{1}{20}$

2) $\frac{x^2+6x+7}{x+7} = 1$

Определим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+7)$, чтобы избавиться от дроби:

$x^2+6x+7 = 1 \cdot (x+7)$

$x^2+6x+7 = x+7$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2+6x-x+7-7 = 0$

$x^2+5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x+5 = 0 \implies x_2 = -5$

Оба корня ($0$ и $-5$) не равны $-7$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ и являются решениями уравнения.

Ответ: $-5; 0$

3) $\frac{12x-7}{x+5} = \frac{9x-22}{x+5}$

Определим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения равны, то для равенства дробей необходимо, чтобы были равны их числители (при условии соблюдения ОДЗ):

$12x-7 = 9x-22$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем члены с $x$ влево, а постоянные члены — вправо:

$12x-9x = -22+7$

$3x = -15$

$x = \frac{-15}{3}$

$x = -5$

Теперь проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Условие ОДЗ: $x \neq -5$. Полученное значение $x = -5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней

4. Первая труба наполняет бак объёмом 570 л, а вторая труба — бак объёмом 530 л. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды меньше, чем другая. Трубы начинают наполнять пустые баки одновременно. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если баки наполняются за одинаковое время?

Для решения задачи введем переменные, описывающие производительность труб.

Пусть $p_1$ — производительность первой трубы в литрах в минуту (л/мин), а $p_2$ — производительность второй трубы (л/мин).

Объем первого бака, который наполняет первая труба, составляет $V_1 = 570$ л.

Объем второго бака, который наполняет вторая труба, составляет $V_2 = 530$ л.

Время, необходимое для наполнения бака, можно найти по формуле $t = \frac{V}{p}$, где $V$ — объем бака, а $p$ — производительность трубы.

Время наполнения первого бака: $t_1 = \frac{V_1}{p_1} = \frac{570}{p_1}$.

Время наполнения второго бака: $t_2 = \frac{V_2}{p_2} = \frac{530}{p_2}$.

Согласно условию, баки наполняются за одинаковое время, значит, $t_1 = t_2$. Исходя из этого, мы можем составить первое уравнение: $$ \frac{570}{p_1} = \frac{530}{p_2} $$

В условии также сказано, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды меньше, чем другая. Так как первая труба наполняет бак большего объема ($570 \text{ л} > 530 \text{ л}$) за то же самое время, ее производительность должна быть выше, чем у второй трубы. Таким образом, $p_1 > p_2$.

Это позволяет нам составить второе уравнение, связывающее производительности двух труб: $$ p_1 = p_2 + 4 $$ Выразим $p_2$ через $p_1$: $$ p_2 = p_1 - 4 $$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} \frac{570}{p_1} = \frac{530}{p_2} \\ p_2 = p_1 - 4 \end{cases} $$

Подставим выражение для $p_2$ из второго уравнения в первое: $$ \frac{570}{p_1} = \frac{530}{p_1 - 4} $$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 570 \cdot (p_1 - 4) = 530 \cdot p_1 $$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $$ 570p_1 - 570 \cdot 4 = 530p_1 $$ $$ 570p_1 - 2280 = 530p_1 $$

Соберем все члены с переменной $p_1$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой: $$ 570p_1 - 530p_1 = 2280 $$ $$ 40p_1 = 2280 $$

Теперь найдем $p_1$: $$ p_1 = \frac{2280}{40} = \frac{228}{4} = 57 $$

Следовательно, первая труба пропускает 57 литров воды в минуту.

Проверим полученный результат. Если $p_1 = 57$ л/мин, то $p_2 = 57 - 4 = 53$ л/мин.

Время наполнения первого бака: $t_1 = \frac{570}{57} = 10$ минут.

Время наполнения второго бака: $t_2 = \frac{530}{53} = 10$ минут.

Время наполнения одинаково, что соответствует условию задачи.

Ответ: 57