Страница 42 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $(\frac{1}{8})^{-2}$?

1) -64

2) $-\frac{1}{64}$

3) $\frac{1}{64}$

4) 64

Для нахождения значения выражения $(\frac{1}{8})^{-2}$ необходимо использовать свойство степени с отрицательным показателем.

Свойство для дробей гласит, что $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Это означает, что чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно взять обратную ей дробь (поменять местами числитель и знаменатель) и возвести в ту же степень, но уже с положительным показателем.

Применим это правило к заданному выражению:

$(\frac{1}{8})^{-2} = (\frac{8}{1})^2$

Далее, упрощаем и вычисляем полученное значение:

$(\frac{8}{1})^2 = 8^2 = 8 \times 8 = 64$

Таким образом, значение выражения равно 64.

Среди предложенных вариантов:

1. -64
2. $-\frac{1}{64}$
3. $\frac{1}{64}$
4. 64

Правильным является вариант под номером 4.

Ответ: 64

2. Каков порядок числа 420 000?

1) $-5$

2) $5$

3) $-4$

4) $4$

Порядок числа — это показатель степени числа 10 в стандартной записи этого числа.

Стандартная запись числа имеет вид $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ и является порядком исходного числа.

Запишем число 420 000 в стандартном виде. Для этого необходимо представить его в виде произведения числа от 1 до 10 и степени 10. Перенесем запятую в числе 420 000 так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры, то есть после 4. Получим число 4,2.

Чтобы из числа 420 000 получить 4,2, мысленно переносим запятую на 5 разрядов влево. Это означает, что мы разделили число на $10^5$. Чтобы значение исходного числа не изменилось, мы должны умножить полученное число 4,2 на $10^5$.

Таким образом, получаем стандартную запись числа:

$420\;000 = 4,2 \times 10^5$

В этой записи показатель степени $n = 5$. Следовательно, порядок числа 420 000 равен 5.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 5

3. Найдите значение выражения $ (-3)^{-3} + 0,6^{-1} - 1,8^{0} $.

Для нахождения значения выражения $(-3)^{-3} + 0,6^{-1} - 1,8^{0}$ необходимо вычислить значение каждого члена выражения по отдельности, а затем выполнить сложение и вычитание.

1. Вычислим значение первого члена $(-3)^{-3}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$

2. Вычислим значение второго члена $0,6^{-1}$.

Представим десятичную дробь 0,6 в виде обыкновенной дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Теперь применим свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$0,6^{-1} = (\frac{3}{5})^{-1} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$

3. Вычислим значение третьего члена $1,8^{0}$.

Согласно свойству степени с нулевым показателем, любое число, не равное нулю, в степени 0 равно 1 ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$):

$1,8^{0} = 1$

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$(-3)^{-3} + 0,6^{-1} - 1,8^{0} = -\frac{1}{27} + \frac{5}{3} - 1$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 27:

$-\frac{1}{27} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 27}{27} = -\frac{1}{27} + \frac{45}{27} - \frac{27}{27}$

Теперь сложим и вычтем числители:

$\frac{-1 + 45 - 27}{27} = \frac{44 - 27}{27} = \frac{17}{27}$

Ответ: $\frac{17}{27}$.

4. Запишите в стандартном виде число:

1) 516 000;

2) 0,000797.

Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

1) 516 000
Чтобы записать число 516 000 в стандартном виде, необходимо представить его в виде $a \cdot 10^n$, где $a$ будет находиться в диапазоне от 1 до 10. Для этого поставим запятую после первой значащей цифры (5), получив 5,16. Исходное число (516 000) больше, чем 5,16. Чтобы определить показатель степени $n$, посчитаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую влево. В числе 516 000 запятая неявно находится в конце (516 000,). Мы сдвинули её на 5 позиций влево, чтобы получить 5,16. Следовательно, $n = 5$. Таким образом, число 516 000 в стандартном виде будет $5,16 \cdot 10^5$.
Ответ: $5,16 \cdot 10^5$.

2) 0,000797
Чтобы записать число 0,000797 в стандартном виде, необходимо поставить запятую после первой значащей цифры (7), получив 7,97. Исходное число (0,000797) меньше, чем 7,97. Чтобы определить показатель степени $n$, посчитаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую вправо. Мы сдвинули её на 4 позиции вправо. Поскольку мы сдвигали запятую вправо, показатель степени $n$ будет отрицательным. Следовательно, $n = -4$. Таким образом, число 0,000797 в стандартном виде будет $7,97 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: $7,97 \cdot 10^{-4}$.

5. Сравните значения выражений $0,6^{-6}$ и $0,6^6$.

Чтобы сравнить значения выражений $0,6^{-6}$ и $0,6^{6}$, рассмотрим свойства степенной функции $y = a^x$.

В данном случае основание степени $a = 0,6$.

Поскольку основание степени удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$ (так как $0 < 0,6 < 1$), то степенная функция $y = 0,6^x$ является убывающей на всей своей области определения.

Для убывающей функции справедливо правило: если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. Иными словами, меньшему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени.

Сравним показатели степеней в заданных выражениях: $-6$ и $6$.

Очевидно, что $-6 < 6$.

Так как функция $y = 0,6^x$ является убывающей, то из неравенства для показателей $-6 < 6$ следует обратное по знаку неравенство для значений выражений:

$0,6^{-6} > 0,6^{6}$

Ответ: $0,6^{-6} > 0,6^{6}$.

6. Представьте в виде дроби выражение

$(a^{-1} + b^{-1})^2 \cdot (a + b)^{-2}.$

Чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо выполнить следующие преобразования, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $ (a^{-1} + b^{-1})^{2} \cdot (a + b)^{-2} $.

1. Сначала преобразуем члены с отрицательными степенями, используя правило $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $.

Выражение в первых скобках примет вид:

$ a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab} $

2. Теперь преобразуем второй множитель по тому же правилу:

$ (a + b)^{-2} = \frac{1}{(a+b)^2} $

3. Подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:

$ (\frac{a+b}{ab})^{2} \cdot \frac{1}{(a+b)^2} $

4. Возведем дробь в первых скобках в квадрат. Используем свойство $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $:

$ \frac{(a+b)^2}{(ab)^2} \cdot \frac{1}{(a+b)^2} = \frac{(a+b)^2}{a^2b^2} \cdot \frac{1}{(a+b)^2} $

5. Умножим полученные дроби:

$ \frac{(a+b)^2 \cdot 1}{a^2b^2 \cdot (a+b)^2} = \frac{(a+b)^2}{a^2b^2(a+b)^2} $

6. Сократим дробь на общий множитель $ (a+b)^2 $, который присутствует и в числителе, и в знаменателе:

$ \frac{\cancel{(a+b)^2}}{a^2b^2\cancel{(a+b)^2}} = \frac{1}{a^2b^2} $

Таким образом, исходное выражение равно $ \frac{1}{a^2b^2} $.

Ответ: $ \frac{1}{a^2b^2} $