Страница 35 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равно выражение $(\frac{a}{b} - \frac{a}{a+b}) : \frac{b}{a+b}$?

1) $\frac{a}{b}$

2) $\frac{a^2}{(a+b)^2}$

3) $\frac{a^2}{b^2}$

4) $\frac{b}{a}$

Чтобы найти, какому из приведённых выражений тождественно равно исходное выражение, необходимо его упростить. Выполним преобразования по действиям.

1. Первым действием выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведём их к общему знаменателю, который равен $b(a+b)$.

$\frac{a}{b} - \frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b)}{b(a+b)} - \frac{a \cdot b}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - ab}{b(a+b)}$

Упростим числитель:

$\frac{a^2}{b(a+b)}$

2. Вторым действием выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, ей обратную.

$\frac{a^2}{b(a+b)} : \frac{b}{a+b} = \frac{a^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a+b}{b}$

3. Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+b \neq 0$ и $b \neq 0$).

$\frac{a^2 \cdot (a+b)}{b \cdot (a+b) \cdot b} = \frac{a^2}{b \cdot b} = \frac{a^2}{b^2}$

Результатом упрощения является выражение $\frac{a^2}{b^2}$. Сравнив его с предложенными вариантами, видим, что оно совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{a^2}{b^2}$

2. Известно, что $ \frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c} $. Укажите верное равенство.

1) $ c = \frac{ab}{b - a} $

2) $ c = a - b $

3) $ c = \frac{ab}{a - b} $

4) $ c = \frac{a - b}{ab} $

Для того чтобы найти верное равенство, необходимо выразить переменную $c$ из исходного уравнения:

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$

Сначала изолируем слагаемое с переменной $c$. Для этого перенесем $\frac{1}{c}$ в левую часть уравнения, а $\frac{1}{a}$ — в правую. При переносе слагаемых через знак равенства их знаки меняются на противоположные:

$\frac{1}{c} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$

Теперь приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю. Общим знаменателем для $b$ и $a$ является их произведение $ab$.

$\frac{1}{c} = \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} - \frac{1 \cdot b}{a \cdot b}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{1}{c} = \frac{a - b}{ab}$

Мы получили выражение для $\frac{1}{c}$. Чтобы найти $c$, нужно взять обратную величину от обеих частей равенства (то есть "перевернуть" дроби):

$c = \frac{ab}{a - b}$

Данное выражение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $c = \frac{ab}{a - b}$

3. Докажите тождество:

$\left(\frac{2x}{x^2 - 12x + 36} - \frac{x}{x - 6}\right) : \frac{8 - x}{36 - x^2} + \frac{12x}{x - 6} = -x.$

Для доказательства тождества необходимо упростить левую часть выражения и показать, что она равна правой части. Выполним преобразования по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках:
$\frac{2x}{x^2 - 12x + 36} - \frac{x}{x-6}$
Заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом: $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-6)^2$:
$\frac{2x}{(x-6)^2} - \frac{x(x-6)}{(x-6)(x-6)} = \frac{2x - x(x-6)}{(x-6)^2} = \frac{2x - x^2 + 6x}{(x-6)^2} = \frac{8x - x^2}{(x-6)^2}$
Вынесем в числителе общий множитель $x$:
$\frac{x(8-x)}{(x-6)^2}$

2. Выполним деление:
Результат первого действия разделим на дробь $\frac{8-x}{36-x^2}$.
$\frac{x(8-x)}{(x-6)^2} : \frac{8-x}{36-x^2}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей. Также разложим знаменатель $36-x^2$ по формуле разности квадратов: $36-x^2 = (6-x)(6+x)$.
$\frac{x(8-x)}{(x-6)^2} \cdot \frac{(6-x)(6+x)}{8-x}$
Сократим общий множитель $(8-x)$:
$\frac{x}{(x-6)^2} \cdot (6-x)(6+x)$
Поскольку $6-x = -(x-6)$, заменим это в выражении:
$\frac{x}{(x-6)^2} \cdot (-(x-6))(x+6)$
Сократим общий множитель $(x-6)$:
$\frac{x}{x-6} \cdot (-(x+6)) = \frac{-x(x+6)}{x-6}$

3. Выполним сложение:
К результату второго действия прибавим дробь $\frac{12x}{x-6}$.
$\frac{-x(x+6)}{x-6} + \frac{12x}{x-6}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому сложим их числители:
$\frac{-x(x+6) + 12x}{x-6} = \frac{-x^2-6x+12x}{x-6} = \frac{-x^2+6x}{x-6}$
Вынесем в числителе за скобки $-x$:
$\frac{-x(x-6)}{x-6}$
Сократим дробь на $(x-6)$:
$-x$

В результате преобразований левая часть тождества была приведена к виду $-x$. Так как левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, поскольку левая часть выражения после упрощения равна $-x$.

4. Найдите значение выражения

$\frac{20a}{9a+2} : \left(\frac{a-2}{9a+2} - \frac{a+2}{9a-2}\right)$, если $a = \frac{1}{18}$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, выполнив действия в скобках, а затем деление.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $ (9a+2)(9a-2) $.

$ \frac{a-2}{9a+2} - \frac{a+2}{9a-2} = \frac{(a-2)(9a-2) - (a+2)(9a+2)}{(9a+2)(9a-2)} $

2. Раскроем скобки в числителе. Знаменатель свернем по формуле разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $.

Числитель:

$ (a-2)(9a-2) - (a+2)(9a+2) = (9a^2 - 2a - 18a + 4) - (9a^2 + 2a + 18a + 4) $

$ = (9a^2 - 20a + 4) - (9a^2 + 20a + 4) = 9a^2 - 20a + 4 - 9a^2 - 20a - 4 = -40a $

Знаменатель:

$ (9a+2)(9a-2) = (9a)^2 - 2^2 = 81a^2 - 4 $

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{-40a}{81a^2 - 4} $.

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{20a}{9a+2} : \frac{-40a}{81a^2 - 4} = \frac{20a}{9a+2} \cdot \frac{81a^2 - 4}{-40a} $

Разложим $ 81a^2 - 4 $ обратно на множители, чтобы сократить дробь:

$ \frac{20a}{9a+2} \cdot \frac{(9a-2)(9a+2)}{-40a} $

Сократим общие множители $ (9a+2) $ и $ 20a $:

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{(9a-2)}{-2} = -\frac{9a-2}{2} = \frac{2-9a}{2} $

4. Подставим в полученное выражение значение $ a = \frac{1}{18} $:

$ \frac{2 - 9 \cdot \frac{1}{18}}{2} = \frac{2 - \frac{9}{18}}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} $

Вычислим значение в числителе:

$ 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $

Подставим результат обратно в дробь:

$ \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} = 0,75 $

Ответ: $ 0,75 $.

5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 24 км/ч, вторую треть — со скоростью 12 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 16 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему времени, затраченному на этот путь. Формула для расчета средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть весь путь $S_{общ}$ равен $S$. По условию, путь разбит на три равных участка, каждый длиной $s = \frac{S}{3}$.

1. Найдем время, затраченное на каждый участок.

Для нахождения времени используем формулу $t = \frac{s}{v}$.

Время на первом участке, где скорость $v_1 = 24$ км/ч:

$t_1 = \frac{S/3}{24} = \frac{S}{3 \cdot 24} = \frac{S}{72}$ ч.

Время на втором участке, где скорость $v_2 = 12$ км/ч:

$t_2 = \frac{S/3}{12} = \frac{S}{3 \cdot 12} = \frac{S}{36}$ ч.

Время на третьем участке, где скорость $v_3 = 16$ км/ч:

$t_3 = \frac{S/3}{16} = \frac{S}{3 \cdot 16} = \frac{S}{48}$ ч.

2. Найдем общее время в пути.

Общее время $t_{общ}$ равно сумме времен на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{72} + \frac{S}{36} + \frac{S}{48}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 72, 36 и 48 равно 144.

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{144} + \frac{4 \cdot S}{144} + \frac{3 \cdot S}{144} = \frac{2S + 4S + 3S}{144} = \frac{9S}{144}$

Сократим дробь:

$t_{общ} = \frac{S}{16}$ ч.

3. Вычислим среднюю скорость.

Теперь, зная общий путь ($S$) и общее время ($t_{общ} = \frac{S}{16}$), мы можем найти среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{S/16} = S \cdot \frac{16}{S} = 16$ км/ч.

Ответ: 16 км/ч.