Страница 32 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$\frac{10a^2}{3b^4} \cdot \frac{2c^3}{25a^3} : \frac{8c^2}{15ab^3}$

1) $\frac{ac}{2b}$

2) $\frac{2ac}{b}$

3) $\frac{c}{2b}$

4) $\frac{2c}{b}$

1. Чтобы найти дробь, тождественно равную данному выражению, необходимо его упростить. Выражение представляет собой произведение и частное алгебраических дробей.

Исходное выражение: $ \frac{10a^2}{3b^4} \cdot \frac{2c^3}{25a^3} : \frac{8c^2}{15ab^3} $

Согласно правилу деления дробей, деление на дробь заменяется умножением на дробь, обратную делителю (то есть, "перевернутую" дробь).

$ \frac{10a^2}{3b^4} \cdot \frac{2c^3}{25a^3} \cdot \frac{15ab^3}{8c^2} $

Теперь выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$ \frac{10a^2 \cdot 2c^3 \cdot 15ab^3}{3b^4 \cdot 25a^3 \cdot 8c^2} $

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями для удобства сокращения:

$ \frac{10 \cdot 2 \cdot 15}{3 \cdot 25 \cdot 8} \cdot \frac{a^2 \cdot a}{a^3} \cdot \frac{b^3}{b^4} \cdot \frac{c^3}{c^2} $

Упростим каждую часть по отдельности:

• Числовые коэффициенты: $ \frac{10 \cdot 2 \cdot 15}{3 \cdot 25 \cdot 8} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2} $

• Степени переменной $a$: $ \frac{a^2 \cdot a}{a^3} = \frac{a^{2+1}}{a^3} = \frac{a^3}{a^3} = 1 $

• Степени переменной $b$: $ \frac{b^3}{b^4} = b^{3-4} = b^{-1} = \frac{1}{b} $

• Степени переменной $c$: $ \frac{c^3}{c^2} = c^{3-2} = c^1 = c $

Теперь перемножим полученные результаты:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{b} \cdot c = \frac{c}{2b} $

Таким образом, исходное выражение тождественно равно дроби $ \frac{c}{2b} $. Сравнив результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 3.

Ответ: 3) $ \frac{c}{2b} $

2. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$\left(-\frac{4a^4}{5b^6}\right)^4$

1) $-\frac{4a^{16}}{5b^{24}}$

2) $\frac{4a^{16}}{5b^{24}}$

3) $-\frac{256a^8}{625b^{10}}$

4) $\frac{256a^{16}}{625b^{24}}$

Чтобы найти дробь, тождественно равную выражению $ \left(-\frac{4a^4}{5b^6}\right)^4 $, необходимо возвести в четвертую степень каждый множитель в числителе и знаменателе дроби. Для этого используются следующие свойства степеней:

• Возведение дроби в степень: $ \left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n} $
• Возведение произведения в степень: $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $
• Возведение степени в степень: $ (A^m)^n = A^{m \cdot n} $

Применим эти правила к исходному выражению:

$ \left(-\frac{4a^4}{5b^6}\right)^4 = \frac{(-4a^4)^4}{(5b^6)^4} = \frac{(-1)^4 \cdot 4^4 \cdot (a^4)^4}{5^4 \cdot (b^6)^4} $

Теперь вычислим значение каждой части выражения:

1. Знак минус: так как степень четная (4), результат будет положительным. $ (-1)^4 = 1 $.

2. Числовые коэффициенты: $ 4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256 $ и $ 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625 $.

3. Переменные: $ (a^4)^4 = a^{4 \cdot 4} = a^{16} $ и $ (b^6)^4 = b^{6 \cdot 4} = b^{24} $.

Собираем все части вместе:

$ \frac{1 \cdot 256 \cdot a^{16}}{625 \cdot b^{24}} = \frac{256a^{16}}{625b^{24}} $

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1) $ -\frac{4a^{16}}{5b^{24}} $: Неверно. Знак отрицательный, а коэффициенты 4 и 5 не возведены в степень.

2) $ \frac{4a^{16}}{5b^{24}} $: Неверно. Коэффициенты 4 и 5 не возведены в степень.

3) $ -\frac{256a^8}{625b^{10}} $: Неверно. Знак отрицательный, и показатели степеней у переменных вычислены неправильно (должно быть $ a^{16} $ и $ b^{24} $).

4) $ \frac{256a^{16}}{625b^{24}} $: Верно. Все компоненты выражения возведены в степень правильно.

Ответ: 4) $ \frac{256a^{16}}{625b^{24}} $

3. Упростите выражение:

1) $56m^4n^5 \cdot \frac{3n^2}{8m^7};$

2) $\frac{y^2 - 3y}{9y^2} \cdot \frac{27y}{4y - 12};$

3) $\frac{10a}{5a^2 - 45b^2} \cdot (a^2 - 3ab);$

4) $\left(-\frac{3a^2b}{c^4}\right)^3 \cdot \left(\frac{ac^5}{6b^2}\right)^2;$

5) $\frac{16a^6b^7}{c^8} : (24a^4b^9c);$

6) $\frac{m^2 - 8m + 16}{m^2 - 4} : \frac{m^2 - 4m}{5m + 10}.$

1) $56m^4n^5 \cdot \frac{3n^2}{8m^7}$

Чтобы умножить одночлен на дробь, представим одночлен в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей:

$\frac{56m^4n^5}{1} \cdot \frac{3n^2}{8m^7} = \frac{56m^4n^5 \cdot 3n^2}{8m^7}$

Сократим числовые коэффициенты 56 и 8. $56 \div 8 = 7$.

$\frac{7m^4n^5 \cdot 3n^2}{m^7}$

Умножим оставшиеся числители: $7 \cdot 3 = 21$ и $n^5 \cdot n^2 = n^{5+2} = n^7$.

$\frac{21m^4n^7}{m^7}$

Сократим степени с основанием $m$: $\frac{m^4}{m^7} = m^{4-7} = m^{-3} = \frac{1}{m^3}$.

$\frac{21n^7}{m^3}$

Ответ: $\frac{21n^7}{m^3}$

2) $\frac{y^2-3y}{9y^2} \cdot \frac{27y}{4y-12}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

$y^2-3y = y(y-3)$

$4y-12 = 4(y-3)$

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{y(y-3)}{9y^2} \cdot \frac{27y}{4(y-3)}$

Теперь сократим общие множители. Сокращаем $(y-3)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй.

$\frac{y}{9y^2} \cdot \frac{27y}{4}$

Перемножим дроби:

$\frac{y \cdot 27y}{9y^2 \cdot 4} = \frac{27y^2}{36y^2}$

Сократим $y^2$ и числовые коэффициенты 27 и 36 (общий делитель 9):

$\frac{27}{36} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

3) $\frac{10a}{5a^2-45b^2} \cdot (a^2-3ab)$

Представим второй множитель в виде дроби и разложим на множители числитель и знаменатель:

$a^2-3ab = a(a-3b)$

$5a^2-45b^2 = 5(a^2-9b^2) = 5(a-3b)(a+3b)$ (использовали формулу разности квадратов)

Подставим в исходное выражение:

$\frac{10a}{5(a-3b)(a+3b)} \cdot \frac{a(a-3b)}{1}$

Перемножим дроби и сократим общие множители:

$\frac{10a \cdot a(a-3b)}{5(a-3b)(a+3b)} = \frac{10a^2(a-3b)}{5(a-3b)(a+3b)}$

Сокращаем $(a-3b)$ и $\frac{10}{5}=2$:

$\frac{2a^2}{a+3b}$

Ответ: $\frac{2a^2}{a+3b}$

4) $(-\frac{3a^2b}{c^4})^3 \cdot (-\frac{ac^5}{6b^2})^2$

Возведем каждую дробь в соответствующую степень:

$(-\frac{3a^2b}{c^4})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{3^3(a^2)^3b^3}{(c^4)^3} = -\frac{27a^6b^3}{c^{12}}$

$(-\frac{ac^5}{6b^2})^2 = (-1)^2 \cdot \frac{a^2(c^5)^2}{6^2(b^2)^2} = \frac{a^2c^{10}}{36b^4}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(-\frac{27a^6b^3}{c^{12}}) \cdot (\frac{a^2c^{10}}{36b^4}) = -\frac{27a^6b^3a^2c^{10}}{c^{12} \cdot 36b^4}$

Сгруппируем и упростим переменные и коэффициенты:

$-\frac{27}{36} \cdot \frac{a^6a^2}{1} \cdot \frac{b^3}{b^4} \cdot \frac{c^{10}}{c^{12}}$

Сокращаем коэффициенты: $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$.

Упрощаем степени: $a^6a^2 = a^8$, $\frac{b^3}{b^4} = b^{-1} = \frac{1}{b}$, $\frac{c^{10}}{c^{12}} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$.

Собираем все вместе:

$-\frac{3}{4} \cdot a^8 \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c^2} = -\frac{3a^8}{4bc^2}$

Ответ: $-\frac{3a^8}{4bc^2}$

5) $\frac{16a^6b^7}{c^8} : (24a^4b^9c)$

Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение:

$\frac{16a^6b^7}{c^8} \cdot \frac{1}{24a^4b^9c} = \frac{16a^6b^7}{c^8 \cdot 24a^4b^9c}$

Упростим полученную дробь. Сократим коэффициенты: $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.

Упростим степени переменных:

$\frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2$

$\frac{b^7}{b^9} = b^{7-9} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$

$\frac{1}{c^8 \cdot c} = \frac{1}{c^{8+1}} = \frac{1}{c^9}$

Собираем все вместе:

$\frac{2a^2}{3b^2c^9}$

Ответ: $\frac{2a^2}{3b^2c^9}$

6) $\frac{m^2-8m+16}{m^2-4} : \frac{m^2-4m}{5m+10}$

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Сначала разложим на множители все числители и знаменатели.

$m^2-8m+16 = (m-4)^2$ (формула квадрата разности)

$m^2-4 = (m-2)(m+2)$ (формула разности квадратов)

$m^2-4m = m(m-4)$

$5m+10 = 5(m+2)$

Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение:

$\frac{(m-4)^2}{(m-2)(m+2)} \cdot \frac{5(m+2)}{m(m-4)}$

Запишем под одной чертой и сократим общие множители:

$\frac{(m-4)^2 \cdot 5(m+2)}{(m-2)(m+2) \cdot m(m-4)}$

Сокращаем $(m+2)$ и одну степень $(m-4)$:

$\frac{5(m-4)}{m(m-2)}$

Ответ: $\frac{5(m-4)}{m(m-2)}$

4. Найдите значение выражения
$\frac{125+a^3}{81-a^4} : \frac{a^2-5a+25}{9-a^2}$,
если $a = -9$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение:

$\frac{125 + a^3}{81 - a^4} : \frac{a^2 - 5a + 25}{9 - a^2}$

1. Разложим числитель первой дроби $125 + a^3$ по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$125 + a^3 = 5^3 + a^3 = (5+a)(5^2 - 5a + a^2) = (5+a)(a^2 - 5a + 25)$

2. Разложим знаменатель первой дроби $81 - a^4$ по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$81 - a^4 = (9)^2 - (a^2)^2 = (9 - a^2)(9 + a^2)$

3. Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{(5+a)(a^2 - 5a + 25)}{(9 - a^2)(9 + a^2)} : \frac{a^2 - 5a + 25}{9 - a^2}$

4. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):

$\frac{(5+a)(a^2 - 5a + 25)}{(9 - a^2)(9 + a^2)} \cdot \frac{9 - a^2}{a^2 - 5a + 25}$

5. Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Мы можем сократить $(a^2 - 5a + 25)$ и $(9 - a^2)$, так как при $a = -9$ они не равны нулю.

$\frac{(5+a)\cancel{(a^2 - 5a + 25)}}{\cancel{(9 - a^2)}(9 + a^2)} \cdot \frac{\cancel{9 - a^2}}{\cancel{a^2 - 5a + 25}} = \frac{5+a}{9+a^2}$

6. Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданное значение $a = -9$:

$\frac{5 + (-9)}{9 + (-9)^2} = \frac{5 - 9}{9 + 81} = \frac{-4}{90}$

7. Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{-4}{90} = -\frac{2}{45}$

Ответ: $-\frac{2}{45}$