Страница 27 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна сумма $\frac{b - a}{ab} + \frac{a + b}{b^2}$?

1) $\frac{a^2 - b^2}{ab^3}$

2) $\frac{a^2 - b^2}{ab^2}$

3) $\frac{a^2 + b^2}{ab^3}$

4) $\frac{a^2 + b^2}{ab^2}$

Чтобы найти сумму дробей, приведём их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $ab$ и $b^2$. Наименьший общий знаменатель для них — $ab^2$.

Найдём дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $ \frac{b-a}{ab} $ дополнительный множитель равен $b$. Для второй дроби $ \frac{a+b}{b^2} $ дополнительный множитель равен $a$.

Теперь выполним сложение, умножив числители на соответствующие дополнительные множители:

$ \frac{b-a}{ab} + \frac{a+b}{b^2} = \frac{(b-a) \cdot b}{ab^2} + \frac{(a+b) \cdot a}{ab^2} $

Сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$ \frac{b(b-a) + a(a+b)}{ab^2} = \frac{b^2 - ab + a^2 + ab}{ab^2} $

Приведём подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $-ab$ и $ab$ взаимно уничтожаются:

$ \frac{a^2 + b^2}{ab^2} $

Полученное выражение соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $ \frac{a^2 + b^2}{ab^2} $

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $ \frac{m}{m+n} - \frac{m-n}{m}? $

1) $ \frac{2m^2 - n^2}{m(m+n)} $

2) $ \frac{2m^2 + n^2}{m(m+n)} $

3) $ \frac{n^2}{m(m+n)} $

4) $ -\frac{n^2}{m(m+n)} $

Чтобы найти разность алгебраических дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. В данном случае знаменатели дробей равны $m+n$ и $m$. Общим знаменателем будет их произведение: $m(m+n)$.

Выражение: $\frac{m}{m+n} - \frac{m-n}{m}$

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $m$, а второй дроби — на $(m+n)$:

$\frac{m \cdot m}{(m+n) \cdot m} - \frac{(m-n) \cdot (m+n)}{m \cdot (m+n)} = \frac{m^2}{m(m+n)} - \frac{m^2 - n^2}{m(m+n)}$

Здесь для числителя второй дроби мы применили формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, вычтем их числители:

$\frac{m^2 - (m^2 - n^2)}{m(m+n)}$

Раскроем скобки в числителе. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках изменятся на противоположные:

$\frac{m^2 - m^2 + n^2}{m(m+n)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{n^2}{m(m+n)}$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Он совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3

3. Упростите выражение:

1) $\frac{9a}{8b} - \frac{81a^2 + 64b^2}{72ab} + \frac{8b - 3a}{9a};$

2) $\frac{45}{9a - a^2} - \frac{5}{a};$

3) $\frac{3}{2x - 6} + \frac{x^2 - x - 15}{x^2 - 9} - 1;$

4) $1 - \frac{1 - 2m}{m^3 + 1} - \frac{m}{m + 1}.$

1) $\frac{9a}{8b} - \frac{81a^2 + 64b^2}{72ab} + \frac{8b - 3a}{9a}$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $8b$, $72ab$, $9a$. Наименьший общий знаменатель для них будет $72ab$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
- для первой дроби $\frac{9a}{8b}$ дополнительный множитель: $\frac{72ab}{8b} = 9a$
- для второй дроби $\frac{81a^2 + 64b^2}{72ab}$ дополнительный множитель: $\frac{72ab}{72ab} = 1$
- для третьей дроби $\frac{8b - 3a}{9a}$ дополнительный множитель: $\frac{72ab}{9a} = 8b$

Теперь выполним преобразование выражения:

$\frac{9a \cdot 9a}{72ab} - \frac{1 \cdot (81a^2 + 64b^2)}{72ab} + \frac{(8b - 3a) \cdot 8b}{72ab} = \frac{81a^2 - (81a^2 + 64b^2) + (64b^2 - 24ab)}{72ab}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{81a^2 - 81a^2 - 64b^2 + 64b^2 - 24ab}{72ab}$

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(81a^2 - 81a^2) + (-64b^2 + 64b^2) - 24ab}{72ab} = \frac{-24ab}{72ab}$

Сократим дробь:

$\frac{-24ab}{72ab} = -\frac{24}{72} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

2) $\frac{45}{9a - a^2} - \frac{5}{a}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $9a - a^2 = a(9-a)$.

Выражение примет вид: $\frac{45}{a(9 - a)} - \frac{5}{a}$

Общий знаменатель для дробей $a(9-a)$ и $a$ будет $a(9-a)$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $9-a$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{45}{a(9 - a)} - \frac{5 \cdot (9-a)}{a(9 - a)} = \frac{45 - 5(9-a)}{a(9-a)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{45 - 45 + 5a}{a(9-a)} = \frac{5a}{a(9-a)}$

Сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{5}{9-a}$

Ответ: $\frac{5}{9-a}$

3) $\frac{3}{2x - 6} + \frac{x^2 - x - 15}{x^2 - 9} - 1$

Разложим на множители знаменатели дробей:
$2x - 6 = 2(x - 3)$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ (формула разности квадратов)

Перепишем выражение: $\frac{3}{2(x - 3)} + \frac{x^2 - x - 15}{(x - 3)(x + 3)} - 1$

Общий знаменатель для всех слагаемых: $2(x - 3)(x + 3)$.

Найдем дополнительные множители:
- для первой дроби: $x + 3$
- для второй дроби: $2$
- для $-1$: $2(x - 3)(x + 3) = 2(x^2 - 9)$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3(x+3) + 2(x^2 - x - 15) - 2(x - 3)(x + 3)}{2(x - 3)(x + 3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3x + 9 + 2x^2 - 2x - 30 - 2(x^2 - 9)}{2(x - 3)(x + 3)} = \frac{3x + 9 + 2x^2 - 2x - 30 - 2x^2 + 18}{2(x - 3)(x + 3)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2x^2 - 2x^2) + (3x - 2x) + (9 - 30 + 18)}{2(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 3}{2(x - 3)(x + 3)}$

Сократим дробь на $(x-3)$ (при условии, что $x \neq 3$):

$\frac{1}{2(x + 3)}$

Ответ: $\frac{1}{2(x + 3)}$

4) $1 - \frac{1 - 2m}{m^3 + 1} - \frac{m}{m + 1}$

Разложим знаменатель $m^3 + 1$ по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$m^3 + 1 = (m + 1)(m^2 - m + 1)$

Перепишем выражение: $1 - \frac{1 - 2m}{(m + 1)(m^2 - m + 1)} - \frac{m}{m + 1}$

Общий знаменатель: $(m + 1)(m^2 - m + 1)$, что равно $m^3+1$.

Найдем дополнительные множители:
- для $1$: $m^3 + 1$
- для второй дроби: $1$
- для третьей дроби: $m^2 - m + 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (m^3 + 1) - (1 - 2m) - m(m^2 - m + 1)}{m^3 + 1}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{m^3 + 1 - 1 + 2m - (m^3 - m^2 + m)}{m^3 + 1} = \frac{m^3 + 1 - 1 + 2m - m^3 + m^2 - m}{m^3 + 1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(m^3 - m^3) + m^2 + (2m - m) + (1 - 1)}{m^3 + 1} = \frac{m^2 + m}{m^3 + 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

$\frac{m(m + 1)}{(m + 1)(m^2 - m + 1)}$

Сократим на $(m+1)$ (при условии, что $m \neq -1$):

$\frac{m}{m^2 - m + 1}$

Ответ: $\frac{m}{m^2 - m + 1}$

4. Найдите значение выражения

$\frac{c - 2}{c^2 - 8c + 16} - \frac{c + 2}{c^2 - 4c}$, если $c = -16$.

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений. Для этого разложим знаменатели дробей на множители.

Знаменатель первой дроби, $c^2 - 8c + 16$, представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$c^2 - 8c + 16 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = (c-4)^2$

Знаменатель второй дроби, $c^2 - 4c$, можно упростить, вынеся общий множитель $c$ за скобки.

$c^2 - 4c = c(c-4)$

Теперь перепишем исходное выражение с разложенными на множители знаменателями:

$\frac{c-2}{(c-4)^2} - \frac{c+2}{c(c-4)}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $(c-4)^2$ и $c(c-4)$ будет $c(c-4)^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $c$, а второй дроби — на $(c-4)$:

$\frac{c(c-2)}{c(c-4)^2} - \frac{(c+2)(c-4)}{c(c-4)^2}$

Теперь можно объединить дроби:

$\frac{c(c-2) - (c+2)(c-4)}{c(c-4)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$c(c-2) = c^2 - 2c$

$(c+2)(c-4) = c^2 - 4c + 2c - 8 = c^2 - 2c - 8$

Подставим раскрытые выражения обратно в числитель и упростим его:

$\frac{(c^2 - 2c) - (c^2 - 2c - 8)}{c(c-4)^2} = \frac{c^2 - 2c - c^2 + 2c + 8}{c(c-4)^2} = \frac{8}{c(c-4)^2}$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него заданное значение $c = -16$:

$\frac{8}{c(c-4)^2} = \frac{8}{-16(-16-4)^2} = \frac{8}{-16(-20)^2}$

Выполним вычисления:

$\frac{8}{-16 \cdot 400} = \frac{8}{-6400}$

Сократим полученную дробь на 8:

$-\frac{8}{6400} = -\frac{1}{800}$

Ответ: $-\frac{1}{800}$