Страница 25 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна сумма $ \frac{3}{a+b} + \frac{2}{a} $?

1) $ \frac{3+2b}{a+b} $

2) $ \frac{5}{2a+b} $

3) $ \frac{5a+2b}{a(a+b)} $

4) $ \frac{5}{a(a+b)} $

Чтобы найти сумму двух алгебраических дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Для выражения $\frac{3}{a+b} + \frac{2}{a}$ знаменатели равны $(a+b)$ и $a$. Наименьшим общим знаменателем для них будет их произведение: $a(a+b)$.

Приведем каждую дробь к новому знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $a$, а второй дроби — на дополнительный множитель $(a+b)$.

$\frac{3}{a+b} = \frac{3 \cdot a}{(a+b) \cdot a} = \frac{3a}{a(a+b)}$

$\frac{2}{a} = \frac{2 \cdot (a+b)}{a \cdot (a+b)} = \frac{2(a+b)}{a(a+b)}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложим их числители, а знаменатель оставим прежним.

$\frac{3a}{a(a+b)} + \frac{2(a+b)}{a(a+b)} = \frac{3a + 2(a+b)}{a(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.

$\frac{3a + 2a + 2b}{a(a+b)} = \frac{5a + 2b}{a(a+b)}$

Полученное выражение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $ \frac{a}{b(a-b)} - \frac{b}{a(a-b)} $?

1) $ \frac{1}{ab} $

2) $ \frac{1}{a-b} $

3) $ \frac{a+b}{ab} $

4) $ \frac{a-b}{ab} $

Для того чтобы определить, какому из предложенных выражений тождественно равна данная разность, необходимо выполнить вычитание дробей и упростить результат.

Исходное выражение:

$$ \frac{a}{b(a-b)} - \frac{b}{a(a-b)} $$

1. Приведение дробей к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — это $b(a-b)$ и $a(a-b)$. Наименьшим общим знаменателем для них будет выражение $ab(a-b)$.

Приведём первую дробь к общему знаменателю, домножив её числитель и знаменатель на дополнительный множитель $a$:

$$ \frac{a}{b(a-b)} = \frac{a \cdot a}{a \cdot b(a-b)} = \frac{a^2}{ab(a-b)} $$

Приведём вторую дробь к общему знаменателю, домножив её числитель и знаменатель на дополнительный множитель $b$:

$$ \frac{b}{a(a-b)} = \frac{b \cdot b}{b \cdot a(a-b)} = \frac{b^2}{ab(a-b)} $$

2. Вычитание дробей.

Теперь вычтем вторую дробь из первой:

$$ \frac{a^2}{ab(a-b)} - \frac{b^2}{ab(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{ab(a-b)} $$

3. Упрощение полученного выражения.

В числителе мы получили формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Подставим это разложение в нашу дробь:

$$ \frac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)} $$

Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{(a-b)}(a+b)}{ab\cancel{(a-b)}} = \frac{a+b}{ab} $$

Таким образом, исходная разность тождественно равна выражению $\frac{a+b}{ab}$. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{a+b}{ab}$

3. Упростите выражение:

1) $\frac{5}{6a^2} + \frac{7}{12a^3b}$;

2) $\frac{1}{5x} - \frac{5x + y}{5xy}$;

3) $\frac{2a}{a^2 - 4b^2} - \frac{2}{a - 2b}$;

4) $7m + \frac{6n - 7m^2}{m}$.

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{5}{6a^2} $ и $ \frac{7}{12a^3b} $, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ 6a^2 $ и $ 12a^3b $ будет $ 12a^3b $.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{12a^3b}{6a^2} = 2ab $.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель: $ \frac{5 \cdot 2ab}{6a^2 \cdot 2ab} = \frac{10ab}{12a^3b} $.
Теперь выполним сложение: $ \frac{10ab}{12a^3b} + \frac{7}{12a^3b} = \frac{10ab + 7}{12a^3b} $.
Ответ: $ \frac{10ab + 7}{12a^3b} $.

2) Чтобы вычесть дроби $ \frac{1}{5x} $ и $ \frac{5x + y}{5xy} $, приведем их к общему знаменателю $ 5xy $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{5xy}{5x} = y $.
Умножим первую дробь на дополнительный множитель и выполним вычитание: $ \frac{1 \cdot y}{5x \cdot y} - \frac{5x + y}{5xy} = \frac{y}{5xy} - \frac{5x + y}{5xy} = \frac{y - (5x + y)}{5xy} $.
Раскроем скобки в числителе: $ \frac{y - 5x - y}{5xy} = \frac{-5x}{5xy} $.
Сократим полученную дробь на $ 5x $: $ \frac{-1}{y} = -\frac{1}{y} $.
Ответ: $ -\frac{1}{y} $.

3) Для упрощения выражения $ \frac{2a}{a^2 - 4b^2} - \frac{2}{a - 2b} $ разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $ a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b) $.
Выражение примет вид: $ \frac{2a}{(a - 2b)(a + 2b)} - \frac{2}{a - 2b} $.
Общий знаменатель равен $ (a - 2b)(a + 2b) $. Дополнительный множитель для второй дроби - $ (a + 2b) $.
Выполним вычитание: $ \frac{2a}{(a - 2b)(a + 2b)} - \frac{2(a + 2b)}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{2a - 2(a + 2b)}{(a - 2b)(a + 2b)} $.
Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{2a - 2a - 4b}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{-4b}{a^2 - 4b^2} $.
Ответ: $ \frac{-4b}{a^2 - 4b^2} $.

4) Чтобы упростить выражение $ 7m + \frac{6n - 7m^2}{m} $, представим первое слагаемое $ 7m $ в виде дроби со знаменателем $ m $:
$ 7m = \frac{7m \cdot m}{m} = \frac{7m^2}{m} $.
Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{7m^2}{m} + \frac{6n - 7m^2}{m} = \frac{7m^2 + 6n - 7m^2}{m} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе: $ \frac{(7m^2 - 7m^2) + 6n}{m} = \frac{6n}{m} $.
Ответ: $ \frac{6n}{m} $.

4. Найдите значение выражения $\frac{c-2}{c^2+6c} - \frac{c+4}{c^2+12c+36}$, если $c = -36$.

Для нахождения значения выражения при $c = -36$ сначала упростим его, чтобы облегчить вычисления.

Исходное выражение: $\frac{c - 2}{c^2 + 6c} - \frac{c + 4}{c^2 + 12c + 36}$

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $c^2 + 6c = c(c + 6)$.
Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $c^2 + 12c + 36 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2 = (c + 6)^2$.

2. Перепишем выражение с новыми знаменателями.
$\frac{c - 2}{c(c + 6)} - \frac{c + 4}{(c + 6)^2}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для дробей: $c(c + 6)^2$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(c+6)$, а второй — на $c$:
$\frac{(c - 2)(c + 6)}{c(c + 6)^2} - \frac{c(c + 4)}{c(c + 6)^2}$

4. Выполним вычитание, объединив числители под общим знаменателем.
$\frac{(c - 2)(c + 6) - c(c + 4)}{c(c + 6)^2}$

5. Упростим числитель.
Раскроем скобки в числителе:
$(c - 2)(c + 6) = c^2 + 6c - 2c - 12 = c^2 + 4c - 12$
$c(c + 4) = c^2 + 4c$
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(c^2 + 4c - 12) - (c^2 + 4c) = c^2 + 4c - 12 - c^2 - 4c = -12$

6. Запишем итоговое упрощенное выражение.
$\frac{-12}{c(c + 6)^2}$

7. Подставим значение $c = -36$.
$\frac{-12}{-36 \cdot (-36 + 6)^2} = \frac{-12}{-36 \cdot (-30)^2} = \frac{-12}{-36 \cdot 900}$

8. Вычислим значение.
$\frac{-12}{-36 \cdot 900} = \frac{12}{36 \cdot 900}$
Сократим 12 и 36:
$\frac{1}{3 \cdot 900} = \frac{1}{2700}$

Ответ: $\frac{1}{2700}$