Страница 18 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна дробь $\frac{4m^4 n}{8mn^5}$?

1) $\frac{2m^3}{n^4}$

2) $\frac{m^3}{2n^4}$

3) $\frac{32m^5}{n^6}$

4) $\frac{m^5}{32n^6}$

Для того чтобы определить, какому из приведённых выражений тождественно равна дробь, необходимо выполнить её упрощение. Исходная дробь:

$$ \frac{4m^4n}{8mn^5} $$

Упростим выражение пошагово, работая с коэффициентами и каждой переменной в отдельности.

1. Сокращение числовых коэффициентов.
В числителе коэффициент равен 4, в знаменателе – 8. Сократим дробь $\frac{4}{8}$ на 4:

$$ \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$

2. Упрощение степеней переменной m.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$. В нашем случае $\frac{m^4}{m} = \frac{m^4}{m^1}$.

$$ \frac{m^4}{m^1} = m^{4-1} = m^3 $$

3. Упрощение степеней переменной n.
Используем то же правило для переменной $n$, учитывая, что $n = n^1$.

$$ \frac{n}{n^5} = \frac{n^1}{n^5} = n^{1-5} = n^{-4} $$

Согласно свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-x} = \frac{1}{a^x}$), получаем:

$$ n^{-4} = \frac{1}{n^4} $$

4. Запись итогового выражения.
Теперь объединим все упрощённые части. В числителе у нас остаются $1$ (от коэффициентов) и $m^3$. В знаменателе – $2$ (от коэффициентов) и $n^4$.

$$ \frac{1 \cdot m^3}{2 \cdot n^4} = \frac{m^3}{2n^4} $$

Сравнивая полученный результат $\frac{m^3}{2n^4}$ с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

2. Какой из приведённых одночленов является общим

знаменателем дробей $\frac{7}{4xy^3}$ и $\frac{11}{6x^2z}$?

1) $10x^2y^3$ 2) $10xy^3z$ 3) $12x^2y^3z$ 4) $24xyz$

Чтобы найти общий знаменатель для дробей $ \frac{7}{4xy^3} $ и $ \frac{11}{6x^2z} $, нужно найти одночлен, который делится без остатка на каждый из знаменателей: $ 4xy^3 $ и $ 6x^2z $. Обычно ищут наименьший общий знаменатель, который является наименьшим общим кратным (НОК) исходных знаменателей.

Процесс нахождения наименьшего общего знаменателя для одночленов состоит из следующих шагов:

1. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) для числовых коэффициентов.
   Коэффициенты в знаменателях — это 4 и 6. Найдем НОК для этих чисел: $ НОК(4, 6) = 12 $.
2. Определение наивысших степеней для каждой переменной.
   Нужно взять каждую переменную, которая встречается хотя бы в одном из знаменателей, с наибольшим показателем степени.
   • Для переменной $ x $: в первом знаменателе $ x^1 $, во втором $ x^2 $. Выбираем наибольшую степень: $ x^2 $.
   • Для переменной $ y $: в первом знаменателе $ y^3 $, во втором отсутствует (т.е. $ y^0 $). Выбираем наибольшую степень: $ y^3 $.
   • Для переменной $ z $: в первом знаменателе отсутствует (т.е. $ z^0 $), во втором $ z^1 $. Выбираем наибольшую степень: $ z $.
3. Составление наименьшего общего знаменателя.
   Перемножаем полученный коэффициент и переменные в найденных степенях: $ 12 \cdot x^2 \cdot y^3 \cdot z = 12x^2y^3z $.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа.

1. $ 10x^2y^3 $ — не подходит, так как коэффициент 10 не делится на 4 и на 6. Также отсутствует переменная $ z $.
2. $ 10xy^3z $ — не подходит, так как коэффициент 10 не делится на 4 и на 6. Степень переменной $ x $ (равная 1) меньше, чем в знаменателе $ 6x^2z $.
3. $ 12x^2y^3z $ — подходит. Проверим:
   • $ \frac{12x^2y^3z}{4xy^3} = 3xz $ (делится без остатка)
   • $ \frac{12x^2y^3z}{6x^2z} = 2y^3 $ (делится без остатка)
4. $ 24xyz $ — не подходит, так как степень переменной $ y $ (равная 1) меньше, чем в знаменателе $ 4xy^3 $, и степень переменной $ x $ (равная 1) меньше, чем в знаменателе $ 6x^2z $.

Единственный одночлен, который является общим знаменателем, — это $ 12x^2y^3z $.

Ответ: 3) $ 12x^2y^3z $

3. Сократите дробь:

1) $\frac{36m^6n^7}{45m^7n^5};$

2) $\frac{6a - 18ab}{6ab};$

3) $\frac{7x - 28y}{8y - 2x};$

4) $\frac{b^2 + 12b + 36}{5b + 30}.$

1) Для сокращения дроби $ \frac{36m^6n^7}{45m^7n^5} $ разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Сначала сократим числовые коэффициенты 36 и 45 на их наибольший общий делитель, который равен 9: $ \frac{36}{45} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{4}{5} $. Затем сократим степени переменных, используя правило $ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $. Для переменной $m$: $ \frac{m^6}{m^7} = m^{6-7} = m^{-1} = \frac{1}{m} $. Для переменной $n$: $ \frac{n^7}{n^5} = n^{7-5} = n^2 $. Собрав все вместе, получаем: $ \frac{36m^6n^7}{45m^7n^5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{m} \cdot n^2 = \frac{4n^2}{5m} $.

Ответ: $ \frac{4n^2}{5m} $

2) В дроби $ \frac{6a - 18ab}{6ab} $ сначала вынесем общий множитель в числителе. Общий множитель для $6a$ и $18ab$ равен $6a$. Получаем: $ 6a - 18ab = 6a(1 - 3b) $. Теперь подставим это выражение обратно в дробь: $ \frac{6a(1 - 3b)}{6ab} $. Сократим общий множитель $6a$ в числителе и знаменателе: $ \frac{\cancel{6a}(1 - 3b)}{\cancel{6a}b} = \frac{1 - 3b}{b} $.

Ответ: $ \frac{1 - 3b}{b} $

3) Рассмотрим дробь $ \frac{7x - 28y}{8y - 2x} $. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель 7: $ 7x - 28y = 7(x - 4y) $. В знаменателе общий множитель 2: $ 8y - 2x = 2(4y - x) $. Дробь принимает вид: $ \frac{7(x - 4y)}{2(4y - x)} $. Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $ x - 4y = -(4y - x) $. Подставим это в дробь: $ \frac{7 \cdot (-(4y - x))}{2(4y - x)} = \frac{-7(4y - x)}{2(4y - x)} $. Теперь можно сократить общий множитель $(4y - x)$, в результате чего получим $ -\frac{7}{2} $.

Ответ: $ -\frac{7}{2} $

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{b^2 + 12b + 36}{5b + 30} $, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $ b^2 + 12b + 36 $ является полным квадратом, который раскладывается по формуле $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $. В нашем случае $ b^2 + 2 \cdot b \cdot 6 + 6^2 = (b+6)^2 $. В знаменателе $ 5b + 30 $ вынесем общий множитель 5 за скобки: $ 5(b + 6) $. Теперь дробь выглядит так: $ \frac{(b+6)^2}{5(b+6)} = \frac{(b+6)(b+6)}{5(b+6)} $. Сокращаем общий множитель $ (b+6) $ в числителе и знаменателе: $ \frac{b+6}{5} $.

Ответ: $ \frac{b+6}{5} $

4. Найдите значение выражения $\frac{c^2 - 16}{5c^2 - 20c}$, если $c = -0,4$.

Для нахождения значения выражения $\frac{c^2 - 16}{5c^2 - 20c}$ при $c = -0,4$ сначала упростим данное выражение.

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$c^2 - 16 = c^2 - 4^2 = (c - 4)(c + 4)$

Разложим знаменатель на множители, вынеся за скобки общий множитель $5c$:

$5c^2 - 20c = 5c(c - 4)$

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим её:

$\frac{c^2 - 16}{5c^2 - 20c} = \frac{(c - 4)(c + 4)}{5c(c - 4)}$

Сокращаем на $(c - 4)$, так как при $c = -0,4$ это выражение не равно нулю.

$\frac{c + 4}{5c}$

Теперь подставим значение $c = -0,4$ в упрощенное выражение:

$\frac{-0,4 + 4}{5 \cdot (-0,4)} = \frac{3,6}{-2} = -1,8$

Ответ: -1,8

5. Постройте график функции $y = \frac{x^2 + 5x}{x + 5}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x^2 + 5x}{x + 5}$ необходимо сначала её проанализировать и упростить.

1. Нахождение области определения функции.

Так как функция представляет собой дробь, её знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, чтобы исключить его из области определения:

$x + 5 = 0$

$x = -5$

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции: все действительные числа, кроме $x = -5$.

2. Упрощение выражения функции.

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 + 5x = x(x + 5)$

Теперь подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{x(x + 5)}{x + 5}$

На всей области определения ($x \neq -5$) мы можем сократить дробь на множитель $(x + 5)$, так как он не равен нулю:

$y = x$

3. Построение графика.

Мы выяснили, что для всех допустимых значений $x$ функция $y = \frac{x^2 + 5x}{x + 5}$ эквивалентна функции $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая, которая проходит через начало координат (точка (0; 0)) и является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Однако, исходная функция не определена в точке $x = -5$. Это означает, что на прямой $y=x$ будет "выколотая" точка (точка разрыва). Найдем ее координаты, подставив значение $x = -5$ в упрощенное уравнение $y = x$:

$y = -5$

Следовательно, точка с координатами $(-5; -5)$ не принадлежит графику функции. При построении эту точку отмечают пустым (незакрашенным) кружком.

Итак, график нашей функции – это прямая $y=x$, из которой удалена точка $(-5; -5)$.

Ответ: График функции $y = \frac{x^2 + 5x}{x + 5}$ является прямой $y=x$ с выколотой точкой $(-5; -5)$.

6. Известно, что $\frac{m}{n} = -2$. Найдите значение выражения $\frac{4m + 3n}{2m + 2n}$.

Для нахождения значения выражения $\frac{4m + 3n}{2m + 2n}$ воспользуемся известным соотношением $\frac{m}{n} = -2$.

Есть два основных способа решения:

Способ 1: Подстановка

Из условия $\frac{m}{n} = -2$ выразим $m$ через $n$. Для этого умножим обе части равенства на $n$ (при этом $n \neq 0$, иначе исходное выражение было бы не определено):
$m = -2n$.
Теперь подставим это выражение для $m$ в искомую дробь:
$\frac{4m + 3n}{2m + 2n} = \frac{4(-2n) + 3n}{2(-2n) + 2n} = \frac{-8n + 3n}{-4n + 2n} = \frac{-5n}{-2n}$.
Сократим дробь на $n$, так как $n \neq 0$:
$\frac{-5}{-2} = 2,5$.

Способ 2: Деление числителя и знаменателя

Разделим числитель и знаменатель дроби на переменную $n$ (так как $n \neq 0$):
$\frac{4m + 3n}{2m + 2n} = \frac{\frac{4m + 3n}{n}}{\frac{2m + 2n}{n}} = \frac{\frac{4m}{n} + \frac{3n}{n}}{\frac{2m}{n} + \frac{2n}{n}} = \frac{4(\frac{m}{n}) + 3}{2(\frac{m}{n}) + 2}$.
Теперь подставим известное значение $\frac{m}{n} = -2$ в преобразованное выражение:
$\frac{4 \cdot (-2) + 3}{2 \cdot (-2) + 2} = \frac{-8 + 3}{-4 + 2} = \frac{-5}{-2} = 2,5$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2,5