Номер 5, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $y = \frac{x^2 + 5x}{x + 5}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x^2 + 5x}{x + 5}$ необходимо сначала её проанализировать и упростить.

1. Нахождение области определения функции.

Так как функция представляет собой дробь, её знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, чтобы исключить его из области определения:

$x + 5 = 0$

$x = -5$

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции: все действительные числа, кроме $x = -5$.

2. Упрощение выражения функции.

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 + 5x = x(x + 5)$

Теперь подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{x(x + 5)}{x + 5}$

На всей области определения ($x \neq -5$) мы можем сократить дробь на множитель $(x + 5)$, так как он не равен нулю:

$y = x$

3. Построение графика.

Мы выяснили, что для всех допустимых значений $x$ функция $y = \frac{x^2 + 5x}{x + 5}$ эквивалентна функции $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая, которая проходит через начало координат (точка (0; 0)) и является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Однако, исходная функция не определена в точке $x = -5$. Это означает, что на прямой $y=x$ будет "выколотая" точка (точка разрыва). Найдем ее координаты, подставив значение $x = -5$ в упрощенное уравнение $y = x$:

$y = -5$

Следовательно, точка с координатами $(-5; -5)$ не принадлежит графику функции. При построении эту точку отмечают пустым (незакрашенным) кружком.

Итак, график нашей функции – это прямая $y=x$, из которой удалена точка $(-5; -5)$.

Ответ: График функции $y = \frac{x^2 + 5x}{x + 5}$ является прямой $y=x$ с выколотой точкой $(-5; -5)$.