Номер 5, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$ сначала найдем область её определения и упростим выражение.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому необходимо исключить значения $x$, при которых $x - 3 = 0$.

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме 3, то есть $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции.

Разложим числитель дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 - 3x = x(x - 3)$

Теперь подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{x(x - 3)}{x - 3}$

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 3$, то множитель $(x - 3)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить дробь:

$y = x$

3. Построение графика.

Мы выяснили, что для всех $x$ из области определения, функция $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$ эквивалентна функции $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая, которая проходит через начало координат $(0; 0)$ и является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Однако, исходная функция не определена в точке $x = 3$. Это означает, что на графике прямой $y = x$ будет разрыв — "выколотая" точка. Чтобы найти координаты этой точки, подставим значение $x = 3$ в упрощенную функцию $y = x$:

$y = 3$

Таким образом, точка с координатами $(3; 3)$ не принадлежит графику нашей функции.

Для построения графика мы чертим прямую $y = x$ (например, по двум точкам, таким как $(0; 0)$ и $(1; 1)$), а затем на этой прямой отмечаем точку $(3; 3)$ пустым (незакрашенным) кружком, чтобы показать, что она исключена.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$ является прямая $y=x$ с выколотой точкой $(3; 3)$.