Номер 2, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какой из приведённых одночленов является общим знаменателем дробей $\frac{4}{3a^2b}$ и $\frac{5}{6b^2c}$?

1) $3abc$

2) $6a^2b^2c$

3) $3a^2b^2$

4) $6a^2bc$

Чтобы найти общий знаменатель для дробей $\frac{4}{3a^2b}$ и $\frac{5}{6b^2c}$, необходимо найти такой одночлен, который делится без остатка на каждый из знаменателей: на $3a^2b$ и на $6b^2c$. Наименьшим общим знаменателем будет являться наименьшее общее кратное (НОК) этих двух одночленов.

Для нахождения НОК($3a^2b, 6b^2c$) выполним следующие шаги:

1. Находим НОК числовых коэффициентов 3 и 6. Так как 6 делится на 3, то НОК(3, 6) = 6.

2. Собираем все переменные, которые входят хотя бы в один из знаменателей ($a, b, c$).

3. Для каждой переменной выбираем наибольшую степень, с которой она встречается в знаменателях. Для $a$ это $a^2$, для $b$ это $b^2$ (сравнивая $b$ и $b^2$), для $c$ это $c$.

4. Перемножаем полученные результаты: $6 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot c = 6a^2b^2c$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель — это $6a^2b^2c$. Теперь проверим предложенные варианты ответов, чтобы определить, какой из них является общим знаменателем.

1) $3abc$: Этот одночлен не может быть общим знаменателем, так как он не делится нацело на $3a^2b$ (степень переменной $a$ в $3abc$ меньше, чем в $3a^2b$) и на $6b^2c$ (коэффициент 3 не делится на 6, и степень $b$ меньше).

2) $6a^2b^2c$: Этот одночлен делится на $3a^2b$: $\frac{6a^2b^2c}{3a^2b} = 2bc$. Он также делится на $6b^2c$: $\frac{6a^2b^2c}{6b^2c} = a^2$. Так как он делится на оба знаменателя, он является общим знаменателем. Этот вариант является правильным.

3) $3a^2b^2$: Этот одночлен не делится на $6b^2c$, так как коэффициент 3 не делится на 6 и в нем отсутствует переменная $c$. Следовательно, он не является общим знаменателем.

4) $6a^2bc$: Этот одночлен не делится на $6b^2c$, так как степень переменной $b$ (равная 1) меньше, чем степень $b$ в делителе (равная 2). Следовательно, он не является общим знаменателем.

Итак, единственным из предложенных одночленов, который является общим знаменателем данных дробей, является $6a^2b^2c$.

Ответ: 2) $6a^2b^2c$