Номер 4, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $a$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме $-12$;

2) все числа, кроме $0$ и $-12$;

3) все числа.

1) все числа, кроме –12;
Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P(a)}{Q(a)}$, где $P(a)$ и $Q(a)$ — многочлены. Допустимыми значениями переменной $a$ для такой дроби являются все числа, для которых знаменатель $Q(a)$ не равен нулю.
Чтобы допустимыми значениями были все числа, кроме $-12$, знаменатель дроби должен обращаться в ноль только при $a = -12$. Это означает, что $a = -12$ является корнем многочлена в знаменателе. Простейший многочлен, имеющий корень $-12$, это $a - (-12) = a + 12$. В качестве числителя можно выбрать любой многочлен, который не имеет корня $-12$, например, константу 1.
Таким образом, искомая дробь может иметь вид: $ \frac{1}{a+12} $
Ответ: $ \frac{1}{a+12} $

2) все числа, кроме 0 и –12;
Чтобы из допустимых значений были исключены числа $0$ и $-12$, знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $a=0$ и при $a=-12$. Следовательно, многочлен в знаменателе должен иметь множители $(a-0)$, то есть $a$, и $(a-(-12))$, то есть $a+12$.
Простейший знаменатель с такими свойствами — это произведение этих множителей: $a(a+12) = a^2+12a$. В качестве числителя снова можно взять 1.
Искомая дробь: $ \frac{1}{a(a+12)} $
Знаменатель $a(a+12)$ равен нулю, когда $a=0$ или $a+12=0$, то есть при $a=0$ и $a=-12$.
Ответ: $ \frac{1}{a^2+12a} $

3) все числа.
Если допустимыми значениями являются все числа, это означает, что знаменатель дроби не должен обращаться в ноль ни при каких действительных значениях $a$.
Для этого можно использовать в качестве знаменателя многочлен, не имеющий действительных корней. Например, многочлен $a^2+1$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $a^2+1 \ge 1$, и, следовательно, знаменатель никогда не равен нулю.
Другой простой вариант — использовать в качестве знаменателя любое число, не равное нулю, например, 1. В этом случае дробь является многочленом.
Пример дроби, определенной для всех чисел: $ \frac{1}{a^2+1} $
Ответ: $ \frac{1}{a^2+1} $