Номер 2, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите, какое из данных выражений является рациональной дробью.

1) $\frac{a}{2} - \frac{b}{3}$

2) $(a + 2b)^2 - \frac{3}{c}$

3) $\frac{a + 2b}{c}$

4) $y^4 + \frac{y}{8}$

Рациональной дробью (или дробно-рациональным выражением) называется алгебраическая дробь вида $\frac{P}{Q}$, где в числителе $P$ и в знаменателе $Q$ стоят многочлены, причём знаменатель $Q$ обязательно содержит одну или несколько переменных.

Рациональные выражения, не содержащие деления на переменную (то есть, знаменатель дроби является числом), называются целыми выражениями.

Проанализируем каждое из предложенных выражений:

1) $\frac{a}{2} - \frac{b}{3}$

Данное выражение можно привести к общему знаменателю: $\frac{a}{2} - \frac{b}{3} = \frac{3a - 2b}{6}$. В полученной дроби знаменатель равен 6. Так как знаменатель не содержит переменных, это целое выражение.

2) $(a + 2b)^2 - \frac{3}{c}$

Это выражение содержит операцию деления на переменную $c$. Такое выражение является дробным рациональным. Если привести его к виду одной дроби, получится $\frac{c(a + 2b)^2 - 3}{c}$. Знаменатель содержит переменную $c$.

3) $\frac{a + 2b}{c}$

Это выражение представляет собой дробь, в числителе которой находится многочлен $a + 2b$, а в знаменателе — многочлен $c$. Так как знаменатель содержит переменную, это выражение является рациональной дробью.

4) $y^4 + \frac{y}{8}$

Данное выражение можно представить в виде дроби: $y^4 + \frac{y}{8} = \frac{8y^4 + y}{8}$. Знаменатель этой дроби равен 8. Так как знаменатель не содержит переменных, это целое выражение.

Таким образом, дробно-рациональными выражениями являются выражения под номерами 2 и 3, так как они содержат деление на переменную. Однако выражение 3) представлено в каноническом виде рациональной дроби $\frac{P}{Q}$, в то время как выражение 2) является разностью двух выражений. Поэтому наиболее точным ответом на поставленный вопрос является вариант 3.

Ответ: 3