Номер 4, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $a$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 16;

2) все числа, кроме 0 и 16;

3) все числа.

1) все числа, кроме 16;
Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P(a)}{Q(a)}$, где $P(a)$ и $Q(a)$ — многочлены. Допустимыми значениями переменной (или областью определения) для такой дроби являются все числа, для которых её знаменатель $Q(a)$ не равен нулю. Следовательно, значения $a$, которые обращают знаменатель в ноль, являются недопустимыми.
Чтобы из допустимых значений было исключено только число 16, знаменатель дроби должен быть равен нулю при $a=16$. Простейший многочлен, который обращается в ноль только при $a=16$, это $a-16$. В качестве числителя можно взять любое выражение, которое не обращается в ноль при $a=16$, например, константу 1.
Ответ: $\frac{1}{a-16}$

2) все числа, кроме 0 и 16;
В этом случае знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $a=0$ и при $a=16$. Это означает, что многочлен в знаменателе должен иметь корни $a_1=0$ и $a_2=16$. Такой многочлен можно составить, перемножив соответствующие линейные множители: $(a-0)$ и $(a-16)$. Их произведение, $a(a-16)$, равно нулю тогда и только тогда, когда $a=0$ или $a=16$. В качестве числителя снова можно взять 1.
Ответ: $\frac{1}{a(a-16)}$

3) все числа.
Если допустимыми значениями переменной являются все числа, это означает, что знаменатель дроби никогда не должен обращаться в ноль ни при каких действительных значениях $a$. Этому условию удовлетворяет любой многочлен, не имеющий действительных корней. Простейший пример — любая ненулевая константа (например, 1). Другой пример — многочлен $a^2 + 1$, который всегда положителен, так как $a^2 \ge 0$ для всех действительных $a$, и, следовательно, $a^2 + 1 \ge 1$. Чтобы сама дробь содержала переменную $a$, как требуется в условии, можно поместить её в числитель.
Ответ: $\frac{a}{a^2+1}$