Страница 15 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите, какое из данных выражений является целым.

1) $ \frac{m}{6} + \frac{n}{7p} $

2) $ \frac{m+n}{6+7p} $

3) $ \frac{m}{6} + \frac{n}{7} $

4) $ \frac{m+n}{6} + \frac{1}{n} $

Целым называется выражение, которое не содержит деления на переменные. Проанализируем каждое из предложенных выражений на соответствие этому определению.

Выражение $\frac{m}{6} + \frac{n}{7p}$ содержит операцию деления на переменную $p$ в слагаемом $\frac{n}{7p}$. Следовательно, оно не является целым.

Ответ: не является целым.

В выражении $\frac{m+n}{6+7p}$ знаменатель дроби $6+7p$ содержит переменную $p$, что означает деление на выражение с переменной. Следовательно, оно не является целым.

Ответ: не является целым.

Выражение $\frac{m}{6} + \frac{n}{7}$ представляет собой сумму двух слагаемых, где переменные $m$ и $n$ делятся на постоянные числа (константы) 6 и 7 соответственно. Деления на переменные в этом выражении нет. Следовательно, оно является целым.

Ответ: является целым.

Выражение $\frac{m+n}{6} + \frac{1}{n}$ содержит слагаемое $\frac{1}{n}$, которое представляет собой операцию деления на переменную $n$. Следовательно, оно не является целым.

Ответ: не является целым.

Таким образом, единственное целое выражение из предложенных — это выражение под номером 3.

2. Укажите, какое из данных выражений является рациональной дробью.

1) $\frac{a}{2} - \frac{b}{3}$

2) $(a + 2b)^2 - \frac{3}{c}$

3) $\frac{a + 2b}{c}$

4) $y^4 + \frac{y}{8}$

Рациональной дробью (или дробно-рациональным выражением) называется алгебраическая дробь вида $\frac{P}{Q}$, где в числителе $P$ и в знаменателе $Q$ стоят многочлены, причём знаменатель $Q$ обязательно содержит одну или несколько переменных.

Рациональные выражения, не содержащие деления на переменную (то есть, знаменатель дроби является числом), называются целыми выражениями.

Проанализируем каждое из предложенных выражений:

1) $\frac{a}{2} - \frac{b}{3}$

Данное выражение можно привести к общему знаменателю: $\frac{a}{2} - \frac{b}{3} = \frac{3a - 2b}{6}$. В полученной дроби знаменатель равен 6. Так как знаменатель не содержит переменных, это целое выражение.

2) $(a + 2b)^2 - \frac{3}{c}$

Это выражение содержит операцию деления на переменную $c$. Такое выражение является дробным рациональным. Если привести его к виду одной дроби, получится $\frac{c(a + 2b)^2 - 3}{c}$. Знаменатель содержит переменную $c$.

3) $\frac{a + 2b}{c}$

Это выражение представляет собой дробь, в числителе которой находится многочлен $a + 2b$, а в знаменателе — многочлен $c$. Так как знаменатель содержит переменную, это выражение является рациональной дробью.

4) $y^4 + \frac{y}{8}$

Данное выражение можно представить в виде дроби: $y^4 + \frac{y}{8} = \frac{8y^4 + y}{8}$. Знаменатель этой дроби равен 8. Так как знаменатель не содержит переменных, это целое выражение.

Таким образом, дробно-рациональными выражениями являются выражения под номерами 2 и 3, так как они содержат деление на переменную. Однако выражение 3) представлено в каноническом виде рациональной дроби $\frac{P}{Q}$, в то время как выражение 2) является разностью двух выражений. Поэтому наиболее точным ответом на поставленный вопрос является вариант 3.

Ответ: 3

3. Найдите значение выражения:

1) $\frac{2x - 3}{4 - 5x}$, если $x = 0,2$;

2) $\frac{x^2 + 2x}{x - 1}$, если $x = -4$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{2x - 3}{4 - 5x}$, если $x = 0,2$, нужно подставить значение $x$ в выражение и выполнить вычисления.

Подставляем $x = 0,2$:

$\frac{2 \cdot 0,2 - 3}{4 - 5 \cdot 0,2}$

Вычисляем числитель:

$2 \cdot 0,2 - 3 = 0,4 - 3 = -2,6$

Вычисляем знаменатель:

$4 - 5 \cdot 0,2 = 4 - 1 = 3$

Находим значение дроби:

$\frac{-2,6}{3}$

Чтобы упростить, можно представить $-2,6$ как обыкновенную дробь $-\frac{26}{10}$:

$\frac{-26/10}{3} = -\frac{26}{10 \cdot 3} = -\frac{26}{30}$

Сокращаем дробь на 2:

$-\frac{26:2}{30:2} = -\frac{13}{15}$

Ответ: $-\frac{13}{15}$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2 + 2x}{x - 1}$, если $x = -4$, нужно подставить значение $x$ в выражение.

Подставляем $x = -4$:

$\frac{(-4)^2 + 2 \cdot (-4)}{-4 - 1}$

Вычисляем числитель:

$(-4)^2 + 2 \cdot (-4) = 16 - 8 = 8$

Вычисляем знаменатель:

$-4 - 1 = -5$

Находим значение дроби:

$\frac{8}{-5} = -\frac{8}{5}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$-\frac{8}{5} = -1,6$

Ответ: $-1,6$.

4. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $a$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 16;

2) все числа, кроме 0 и 16;

3) все числа.

1) все числа, кроме 16;
Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P(a)}{Q(a)}$, где $P(a)$ и $Q(a)$ — многочлены. Допустимыми значениями переменной (или областью определения) для такой дроби являются все числа, для которых её знаменатель $Q(a)$ не равен нулю. Следовательно, значения $a$, которые обращают знаменатель в ноль, являются недопустимыми.
Чтобы из допустимых значений было исключено только число 16, знаменатель дроби должен быть равен нулю при $a=16$. Простейший многочлен, который обращается в ноль только при $a=16$, это $a-16$. В качестве числителя можно взять любое выражение, которое не обращается в ноль при $a=16$, например, константу 1.
Ответ: $\frac{1}{a-16}$

2) все числа, кроме 0 и 16;
В этом случае знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $a=0$ и при $a=16$. Это означает, что многочлен в знаменателе должен иметь корни $a_1=0$ и $a_2=16$. Такой многочлен можно составить, перемножив соответствующие линейные множители: $(a-0)$ и $(a-16)$. Их произведение, $a(a-16)$, равно нулю тогда и только тогда, когда $a=0$ или $a=16$. В качестве числителя снова можно взять 1.
Ответ: $\frac{1}{a(a-16)}$

3) все числа.
Если допустимыми значениями переменной являются все числа, это означает, что знаменатель дроби никогда не должен обращаться в ноль ни при каких действительных значениях $a$. Этому условию удовлетворяет любой многочлен, не имеющий действительных корней. Простейший пример — любая ненулевая константа (например, 1). Другой пример — многочлен $a^2 + 1$, который всегда положителен, так как $a^2 \ge 0$ для всех действительных $a$, и, следовательно, $a^2 + 1 \ge 1$. Чтобы сама дробь содержала переменную $a$, как требуется в условии, можно поместить её в числитель.
Ответ: $\frac{a}{a^2+1}$

5. Известно, что $6x - 24y = 5$. Найдите значение выражения $\frac{8}{28y - 7x}$.

Нам дано уравнение $6x - 24y = 5$. Требуется найти значение выражения $\frac{8}{28y - 7x}$.

Сначала преобразуем данное уравнение. Вынесем общий множитель $6$ за скобки в левой части уравнения: $6(x - 4y) = 5$.

Из этого соотношения мы можем выразить значение выражения в скобках: $x - 4y = \frac{5}{6}$.

Теперь преобразуем знаменатель выражения, значение которого нам нужно найти: $28y - 7x$. Вынесем общий множитель $-7$ за скобки, чтобы получить выражение, связанное с тем, что мы нашли выше: $28y - 7x = -7(-4y + x) = -7(x - 4y)$.

Мы уже знаем, что $x - 4y = \frac{5}{6}$. Подставим это значение в преобразованный знаменатель: $-7(x - 4y) = -7 \times \frac{5}{6} = -\frac{35}{6}$.

Теперь мы можем найти значение исходного выражения, подставив найденное значение знаменателя: $\frac{8}{28y - 7x} = \frac{8}{-\frac{35}{6}}$.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю: $8 \div (-\frac{35}{6}) = 8 \times (-\frac{6}{35}) = -\frac{8 \times 6}{35} = -\frac{48}{35}$.

Ответ: $-\frac{48}{35}$