Страница 16 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите, какое из данных выражений является целым.

1) $\frac{a-b}{8} - \frac{1}{a}$

2) $\frac{a}{8} - \frac{b}{3a}$

3) $\frac{a-b}{8-a}$

4) $\frac{a-b}{8} + \frac{c}{7}$

Целым выражением называется выражение, которое не содержит деления на переменную. Чтобы определить, какое из данных выражений является целым, необходимо проанализировать каждое из них на наличие операции деления на переменную.

1) $ \frac{a-b}{8} - \frac{1}{a} $
В этом выражении присутствует слагаемое $ \frac{1}{a} $, которое представляет собой деление на переменную $a$. Следовательно, это выражение не является целым.
Ответ: не является целым.

2) $ \frac{a}{8} - \frac{b}{3a} $
В этом выражении есть слагаемое $ \frac{b}{3a} $, в знаменателе которого находится переменная $a$. Это означает деление на переменную, поэтому выражение не является целым.
Ответ: не является целым.

3) $ \frac{a-b}{8-a} $
Данное выражение является дробью, в знаменателе которой ($8-a$) содержится переменная $a$. Это операция деления на переменную, значит, выражение не является целым.
Ответ: не является целым.

4) $ \frac{a-b}{8} + \frac{c}{7} $
Это выражение можно представить в виде суммы $ (\frac{1}{8}a - \frac{1}{8}b) + \frac{1}{7}c $. Деление в данном случае происходит только на числовые константы (8 и 7), а не на переменные. Такое выражение является целым.
Ответ: является целым.

2. Укажите, какое из данных выражений является рациональной дробью.

1) $(3x - y)^2 + \frac{4}{p}$

2) $\frac{y}{9} - y^5$

3) $\frac{x}{3} + \frac{y}{9}$

4) $\frac{3x - y}{p}$

Рациональная дробь (или дробно-рациональное выражение) — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ являются многочленами, и знаменатель $Q$ содержит переменную (то есть не является числом, отличным от нуля).

Проанализируем каждое из предложенных выражений:

1) Выражение $(3x - y)^2 + \frac{4}{p}$ представляет собой сумму многочлена $(3x - y)^2$ и дроби $\frac{4}{p}$. Так как в знаменателе дроби есть переменная $p$, всё выражение является дробно-рациональным. Его можно привести к виду одной рациональной дроби: $\frac{p(3x - y)^2 + 4}{p}$. Однако в исходной записи это сумма, а не одна дробь.

2) Выражение $\frac{y}{9} - y^5$ можно представить в виде $\frac{1}{9}y - y^5$. Оно является многочленом, так как не содержит операции деления на переменную. Такие выражения называют целыми рациональными выражениями.

3) Выражение $\frac{x}{3} + \frac{y}{9}$ также является многочленом ($\frac{1}{3}x + \frac{1}{9}y$), поскольку деление производится только на числа. Это целое рациональное выражение.

4) Выражение $\frac{3x - y}{p}$ является дробью, числитель которой ($3x - y$) — многочлен, и знаменатель ($p$) — многочлен, содержащий переменную. Данное выражение полностью соответствует определению рациональной дроби.

Таким образом, из всех представленных выражений только четвертое непосредственно является рациональной дробью по своей форме записи.

Ответ: 4

3. Найдите значение выражения:

1) $\frac{4y - 3}{5 - 6y}$, если $y = 0,5;$

2) $\frac{x^2 + 4x}{x - 2}$, если $x = -2.$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{4y - 3}{5 - 6y}$, если $y = 0,5$, нужно подставить значение $y$ в выражение и выполнить вычисления.

Подставляем $y = 0,5$ в выражение:

$\frac{4 \cdot 0,5 - 3}{5 - 6 \cdot 0,5}$

Выполняем действия в числителе:

$4 \cdot 0,5 - 3 = 2 - 3 = -1$

Выполняем действия в знаменателе:

$5 - 6 \cdot 0,5 = 5 - 3 = 2$

Получаем дробь:

$\frac{-1}{2} = -0,5$

Ответ: -0,5

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2 + 4x}{x - 2}$, если $x = -2$, нужно подставить значение $x$ в выражение и выполнить вычисления.

Подставляем $x = -2$ в выражение:

$\frac{(-2)^2 + 4 \cdot (-2)}{-2 - 2}$

Выполняем действия в числителе:

$(-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$

Выполняем действия в знаменателе:

$-2 - 2 = -4$

Получаем дробь:

$\frac{-4}{-4} = 1$

Ответ: 1

4. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $a$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме $-12$;

2) все числа, кроме $0$ и $-12$;

3) все числа.

1) все числа, кроме –12;
Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P(a)}{Q(a)}$, где $P(a)$ и $Q(a)$ — многочлены. Допустимыми значениями переменной $a$ для такой дроби являются все числа, для которых знаменатель $Q(a)$ не равен нулю.
Чтобы допустимыми значениями были все числа, кроме $-12$, знаменатель дроби должен обращаться в ноль только при $a = -12$. Это означает, что $a = -12$ является корнем многочлена в знаменателе. Простейший многочлен, имеющий корень $-12$, это $a - (-12) = a + 12$. В качестве числителя можно выбрать любой многочлен, который не имеет корня $-12$, например, константу 1.
Таким образом, искомая дробь может иметь вид: $ \frac{1}{a+12} $
Ответ: $ \frac{1}{a+12} $

2) все числа, кроме 0 и –12;
Чтобы из допустимых значений были исключены числа $0$ и $-12$, знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $a=0$ и при $a=-12$. Следовательно, многочлен в знаменателе должен иметь множители $(a-0)$, то есть $a$, и $(a-(-12))$, то есть $a+12$.
Простейший знаменатель с такими свойствами — это произведение этих множителей: $a(a+12) = a^2+12a$. В качестве числителя снова можно взять 1.
Искомая дробь: $ \frac{1}{a(a+12)} $
Знаменатель $a(a+12)$ равен нулю, когда $a=0$ или $a+12=0$, то есть при $a=0$ и $a=-12$.
Ответ: $ \frac{1}{a^2+12a} $

3) все числа.
Если допустимыми значениями являются все числа, это означает, что знаменатель дроби не должен обращаться в ноль ни при каких действительных значениях $a$.
Для этого можно использовать в качестве знаменателя многочлен, не имеющий действительных корней. Например, многочлен $a^2+1$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $a^2+1 \ge 1$, и, следовательно, знаменатель никогда не равен нулю.
Другой простой вариант — использовать в качестве знаменателя любое число, не равное нулю, например, 1. В этом случае дробь является многочленом.
Пример дроби, определенной для всех чисел: $ \frac{1}{a^2+1} $
Ответ: $ \frac{1}{a^2+1} $

5. Известно, что $8x - 40y = 9$. Найдите значение выражения $\frac{10}{15y - 3x}$.

По условию задачи дано уравнение $8x - 40y = 9$. Требуется найти значение выражения $\frac{10}{15y - 3x}$.

Для решения этой задачи преобразуем оба выражения, вынеся общие множители за скобки.

1. Преобразуем данное уравнение $8x - 40y = 9$.

Общий множитель для $8x$ и $-40y$ равен $8$. Вынесем его за скобки:

$8(x - 5y) = 9$

Из этого уравнения мы можем выразить значение скобки $(x - 5y)$:

$x - 5y = \frac{9}{8}$

2. Теперь преобразуем знаменатель искомого выражения: $15y - 3x$.

Общий множитель для $15y$ и $-3x$ равен $-3$. Вынесем его за скобки, чтобы получить выражение, похожее на то, что мы нашли в первом шаге:

$15y - 3x = -3(-5y + x) = -3(x - 5y)$

3. Подставим найденное значение $x - 5y = \frac{9}{8}$ в преобразованный знаменатель:

$15y - 3x = -3 \cdot (x - 5y) = -3 \cdot \frac{9}{8} = -\frac{27}{8}$

4. Теперь мы можем вычислить значение исходного выражения, подставив в него найденное значение знаменателя:

$\frac{10}{15y - 3x} = \frac{10}{-\frac{27}{8}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$\frac{10}{-\frac{27}{8}} = 10 \cdot (-\frac{8}{27}) = -\frac{10 \cdot 8}{27} = -\frac{80}{27}$

При желании, можно представить ответ в виде смешанной дроби:

$-\frac{80}{27} = -2\frac{26}{27}$

Ответ: $-\frac{80}{27}$