Страница 17 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна дробь $\frac{3a^2b}{9ab^3}$?

1) $\frac{a^2}{3b^4}$

2) $\frac{3a}{b^2}$

3) $\frac{a}{3b^2}$

4) $\frac{a^3b^4}{3}$

Чтобы найти выражение, тождественно равное дроби $\frac{3a^2b}{9ab^3}$, необходимо упростить эту дробь. Упрощение производится путем сокращения (деления) числителя и знаменателя на их общие множители.

Рассмотрим дробь: $\frac{3a^2b}{9ab^3}$

1. Упрощение числовых коэффициентов. Разделим коэффициент в числителе (3) и в знаменателе (9) на их наибольший общий делитель, который равен 3.

$\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$

2. Упрощение переменных. Используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a} = \frac{a^2}{a^1} = a^{2-1} = a^1 = a$.

Для переменной $b$: $\frac{b}{b^3} = \frac{b^1}{b^3} = b^{1-3} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.

3. Объединение результатов. Соберем все упрощенные части вместе. В числителе остается $1 \cdot a = a$, а в знаменателе $3 \cdot b^2 = 3b^2$.

Таким образом, получаем:

$\frac{3a^2b}{9ab^3} = \frac{a}{3b^2}$

Сравнив полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

2. Какой из приведённых одночленов является общим знаменателем дробей $\frac{4}{3a^2b}$ и $\frac{5}{6b^2c}$?

1) $3abc$

2) $6a^2b^2c$

3) $3a^2b^2$

4) $6a^2bc$

Чтобы найти общий знаменатель для дробей $\frac{4}{3a^2b}$ и $\frac{5}{6b^2c}$, необходимо найти такой одночлен, который делится без остатка на каждый из знаменателей: на $3a^2b$ и на $6b^2c$. Наименьшим общим знаменателем будет являться наименьшее общее кратное (НОК) этих двух одночленов.

Для нахождения НОК($3a^2b, 6b^2c$) выполним следующие шаги:

1. Находим НОК числовых коэффициентов 3 и 6. Так как 6 делится на 3, то НОК(3, 6) = 6.

2. Собираем все переменные, которые входят хотя бы в один из знаменателей ($a, b, c$).

3. Для каждой переменной выбираем наибольшую степень, с которой она встречается в знаменателях. Для $a$ это $a^2$, для $b$ это $b^2$ (сравнивая $b$ и $b^2$), для $c$ это $c$.

4. Перемножаем полученные результаты: $6 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot c = 6a^2b^2c$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель — это $6a^2b^2c$. Теперь проверим предложенные варианты ответов, чтобы определить, какой из них является общим знаменателем.

1) $3abc$: Этот одночлен не может быть общим знаменателем, так как он не делится нацело на $3a^2b$ (степень переменной $a$ в $3abc$ меньше, чем в $3a^2b$) и на $6b^2c$ (коэффициент 3 не делится на 6, и степень $b$ меньше).

2) $6a^2b^2c$: Этот одночлен делится на $3a^2b$: $\frac{6a^2b^2c}{3a^2b} = 2bc$. Он также делится на $6b^2c$: $\frac{6a^2b^2c}{6b^2c} = a^2$. Так как он делится на оба знаменателя, он является общим знаменателем. Этот вариант является правильным.

3) $3a^2b^2$: Этот одночлен не делится на $6b^2c$, так как коэффициент 3 не делится на 6 и в нем отсутствует переменная $c$. Следовательно, он не является общим знаменателем.

4) $6a^2bc$: Этот одночлен не делится на $6b^2c$, так как степень переменной $b$ (равная 1) меньше, чем степень $b$ в делителе (равная 2). Следовательно, он не является общим знаменателем.

Итак, единственным из предложенных одночленов, который является общим знаменателем данных дробей, является $6a^2b^2c$.

Ответ: 2) $6a^2b^2c$

3. Сократите дробь:

1) $\frac{42a^4b^3}{56a^3b^5}$;

2) $\frac{7m - 28mn}{7mn}$;

3) $\frac{5a - 15b}{9b - 3a}$;

4) $\frac{a^2 - 10a + 25}{4a - 20}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{42a^4b^3}{56a^3b^5}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общие множители.
Сначала сократим числовые коэффициенты 42 и 56. Их наибольший общий делитель равен 14.
$\frac{42}{56} = \frac{14 \cdot 3}{14 \cdot 4} = \frac{3}{4}$.
Далее сократим степени переменных, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Для переменной $a$: $\frac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a^1 = a$.
Для переменной $b$: $\frac{b^3}{b^5} = b^{3-5} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.
Объединив все части, получаем:
$\frac{42a^4b^3}{56a^3b^5} = \frac{3a}{4b^2}$.
Ответ: $\frac{3a}{4b^2}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{7m-28mn}{7mn}$ сначала вынесем общий множитель в числителе за скобки.
Общим множителем для $7m$ и $28mn$ является $7m$.
$7m-28mn = 7m(1-4n)$.
Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{7m(1-4n)}{7mn}$.
Теперь мы можем сократить общий множитель $7m$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{7m}(1-4n)}{\cancel{7m}n} = \frac{1-4n}{n}$.
Ответ: $\frac{1-4n}{n}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{5a-15b}{9b-3a}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 5: $5a-15b = 5(a-3b)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3: $9b-3a = 3(3b-a)$.
Дробь примет вид: $\frac{5(a-3b)}{3(3b-a)}$.
Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(3b-a) = -(a-3b)$.
Заменим выражение в знаменателе:
$\frac{5(a-3b)}{3(-(a-3b))} = \frac{5(a-3b)}{-3(a-3b)}$.
Теперь сократим общий множитель $(a-3b)$: $\frac{5\cancel{(a-3b)}}{-3\cancel{(a-3b)}} = -\frac{5}{3}$.
Ответ: $-\frac{5}{3}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{a^2-10a+25}{4a-20}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^2-10a+25$ является полным квадратом разности и может быть свернут по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
$a^2-10a+25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$.
В знаменателе $4a-20$ вынесем за скобки общий множитель 4:
$4a-20 = 4(a-5)$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(a-5)^2}{4(a-5)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-5)$:
$\frac{(a-5)\cancel{^2}}{4\cancel{(a-5)}} = \frac{a-5}{4}$.
Ответ: $\frac{a-5}{4}$.

4. Найдите значение выражения $ \frac{a^2 - 81}{4a^2 - 36a} $, если $ a = 2,5 $.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель представляет собой разность квадратов $a^2 - 81 = a^2 - 9^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 81 = (a - 9)(a + 9)$

В знаменателе $4a^2 - 36a$ вынесем за скобки общий множитель $4a$:

$4a^2 - 36a = 4a(a - 9)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{a^2 - 81}{4a^2 - 36a} = \frac{(a - 9)(a + 9)}{4a(a - 9)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 9)$, так как по условию $a = 2,5$, и следовательно, $a - 9 \neq 0$:

$\frac{\cancel{(a - 9)}(a + 9)}{4a\cancel{(a - 9)}} = \frac{a + 9}{4a}$

Теперь подставим значение $a = 2,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{2,5 + 9}{4 \cdot 2,5} = \frac{11,5}{10} = 1,15$

Ответ: 1,15

5. Постройте график функции $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$ сначала найдем область её определения и упростим выражение.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому необходимо исключить значения $x$, при которых $x - 3 = 0$.

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме 3, то есть $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции.

Разложим числитель дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 - 3x = x(x - 3)$

Теперь подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{x(x - 3)}{x - 3}$

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 3$, то множитель $(x - 3)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить дробь:

$y = x$

3. Построение графика.

Мы выяснили, что для всех $x$ из области определения, функция $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$ эквивалентна функции $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая, которая проходит через начало координат $(0; 0)$ и является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Однако, исходная функция не определена в точке $x = 3$. Это означает, что на графике прямой $y = x$ будет разрыв — "выколотая" точка. Чтобы найти координаты этой точки, подставим значение $x = 3$ в упрощенную функцию $y = x$:

$y = 3$

Таким образом, точка с координатами $(3; 3)$ не принадлежит графику нашей функции.

Для построения графика мы чертим прямую $y = x$ (например, по двум точкам, таким как $(0; 0)$ и $(1; 1)$), а затем на этой прямой отмечаем точку $(3; 3)$ пустым (незакрашенным) кружком, чтобы показать, что она исключена.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$ является прямая $y=x$ с выколотой точкой $(3; 3)$.

6. Известно, что $\frac{a}{b} = 3$. Найдите значение выражения $\frac{4a + 8b}{a + 7b}$.

Для решения задачи воспользуемся данным условием $ \frac{a}{b} = 3 $. Из этого равенства мы можем выразить переменную $a$ через переменную $b$.

$ a = 3 \cdot b = 3b $

Теперь подставим это выражение для $a$ в дробь $ \frac{4a + 8b}{a + 7b} $, значение которой нам нужно найти.

$ \frac{4(3b) + 8b}{(3b) + 7b} $

Далее, упростим числитель и знаменатель полученной дроби, выполнив арифметические действия:

$ \frac{12b + 8b}{3b + 7b} = \frac{20b}{10b} $

Поскольку из условия $ \frac{a}{b} = 3 $ следует, что $ b \ne 0 $, мы можем сократить дробь на $b$.

$ \frac{20}{10} = 2 $

Таким образом, значение выражения равно 2.

Ответ: 2