Страница 22 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна сумма $\frac{4a}{b^3} + \frac{7b - 4a}{b^3}$?

1) $\frac{8a + 7b}{b^3}$

2) $\frac{7}{b}$

3) $\frac{7}{b^3}$

4) $\frac{7}{b^2}$

Для того чтобы найти, какому из приведённых выражений тождественно равна сумма, необходимо выполнить сложение и упрощение дробей.

Исходное выражение:

$$ \frac{4a}{b^3} + \frac{7b - 4a}{b^3} $$

Поскольку обе дроби имеют одинаковый знаменатель $b^3$, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель прежним:

$$ \frac{4a + (7b - 4a)}{b^3} $$

Теперь упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$$ 4a + 7b - 4a = (4a - 4a) + 7b = 0 + 7b = 7b $$

После упрощения числителя дробь принимает вид:

$$ \frac{7b}{b^3} $$

Далее сократим полученную дробь. Для этого разделим и числитель, и знаменатель на их общий множитель $b$ (при условии, что $b \neq 0$):

$$ \frac{7b}{b^3} = \frac{7 \cdot b}{b^2 \cdot b} = \frac{7}{b^2} $$

Полученный результат $ \frac{7}{b^2} $ соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $ \frac{7}{b^2} $

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $\frac{13m + 4n}{5m + 2n} - \frac{3m}{5m + 2n}$?

1) 2

2) $2m + 2n$

3) $\frac{16m + 4n}{5m + 2n}$

4) $\frac{10m - 4n}{5m + 2n}$

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним.

Исходное выражение:

$$ \frac{13m + 4n}{5m + 2n} - \frac{3m}{5m + 2n} $$

Поскольку знаменатели дробей совпадают ($5m + 2n$), объединим числители под общим знаменателем:

$$ \frac{(13m + 4n) - 3m}{5m + 2n} $$

Теперь упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые (члены с переменной $m$):

$$ \frac{13m - 3m + 4n}{5m + 2n} = \frac{10m + 4n}{5m + 2n} $$

В числителе $10m + 4n$ можно вынести за скобки общий множитель 2:

$$ \frac{2(5m + 2n)}{5m + 2n} $$

Сократим полученную дробь на общий множитель $(5m + 2n)$, при условии, что он не равен нулю ($5m + 2n \neq 0$):

$$ \frac{2\cancel{(5m + 2n)}}{\cancel{(5m + 2n)}} = 2 $$

Результат равен 2. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1) 2

3. Упростите выражение:

1) $\frac{b - 12c}{15bc} + \frac{4b - 3c}{15bc}$;

2) $\frac{a^2 + 49}{a - 7} - \frac{14a}{a - 7}$;

3) $\frac{4x - 3}{x - 2} + \frac{1 + 2x}{2 - x}$;

4) $\frac{4m - 2}{(1 - m)^2} - \frac{3 - m}{(m - 1)^2}$.

1)

Чтобы упростить выражение $ \frac{b - 12c}{15bc} + \frac{4b - 3c}{15bc} $, сложим числители дробей, так как их знаменатели одинаковы:

$ \frac{b - 12c + 4b - 3c}{15bc} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (b + 4b) + (-12c - 3c) = 5b - 15c $

Получаем дробь:

$ \frac{5b - 15c}{15bc} $

Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:

$ \frac{5(b - 3c)}{15bc} $

Сократим дробь на 5:

$ \frac{b - 3c}{3bc} $

Ответ: $ \frac{b - 3c}{3bc} $

2)

Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2 + 49}{a - 7} - \frac{14a}{a - 7} $, вычтем числители дробей, так как их знаменатели одинаковы:

$ \frac{a^2 + 49 - 14a}{a - 7} = \frac{a^2 - 14a + 49}{a - 7} $

Числитель представляет собой полный квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $. В нашем случае это $ (a-7)^2 $:

$ \frac{(a - 7)^2}{a - 7} $

Сократим дробь на $ (a - 7) $:

$ a - 7 $

Ответ: $ a - 7 $

3)

Чтобы упростить выражение $ \frac{4x - 3}{x - 2} + \frac{1 + 2x}{2 - x} $, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ 2 - x = -(x - 2) $.

Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$ \frac{4x - 3}{x - 2} - \frac{1 + 2x}{x - 2} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$ \frac{(4x - 3) - (1 + 2x)}{x - 2} = \frac{4x - 3 - 1 - 2x}{x - 2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2x - 4}{x - 2} $

Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$ \frac{2(x - 2)}{x - 2} $

Сократим дробь на $ (x - 2) $:

$ 2 $

Ответ: $ 2 $

4)

Чтобы упростить выражение $ \frac{4m - 2}{(1 - m)^2} - \frac{3 - m}{(m - 1)^2} $, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ (1 - m)^2 = (-(m - 1))^2 = (m - 1)^2 $. Знаменатели уже одинаковы.

Вычтем числители:

$ \frac{(4m - 2) - (3 - m)}{(m - 1)^2} = \frac{4m - 2 - 3 + m}{(m - 1)^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{5m - 5}{(m - 1)^2} $

Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:

$ \frac{5(m - 1)}{(m - 1)^2} $

Сократим дробь на $ (m - 1) $:

$ \frac{5}{m - 1} $

Ответ: $ \frac{5}{m - 1} $

4. Найдите все целые значения $n$, при которых является целым числом значение выражения $\frac{n^2 - 35}{n}$.

Для того чтобы значение выражения $\frac{n^2 - 35}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы при целом $n$ числитель $n^2 - 35$ делился на знаменатель $n$ без остатка.

Преобразуем данное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{n^2 - 35}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{35}{n} = n - \frac{35}{n}$

По условию, $n$ — целое число. Следовательно, значение всего выражения $n - \frac{35}{n}$ будет целым тогда и только тогда, когда значение дроби $\frac{35}{n}$ является целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $n$ является целым делителем числителя 35.

Найдем все целые делители числа 35.

Делителями числа 35 являются: $\pm1, \pm5, \pm7, \pm35$.

Ответ: $\{-35, -7, -5, -1, 1, 5, 7, 35\}$.