Страница 21 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна сумма $ \frac{3x}{y^2} + \frac{5y - 3x}{y^2} $?

1) $ \frac{6x + 5y}{y^2} $

2) $ \frac{5y - 6x}{y^2} $

3) $ 5 $

4) $ \frac{5}{y} $

Чтобы найти, какому из приведённых выражений тождественно равна сумма, нужно выполнить сложение дробей и упростить полученное выражение.

Исходная сумма дробей:

$\frac{3x}{y^2} + \frac{5y - 3x}{y^2}$

Поскольку обе дроби имеют одинаковый знаменатель $y^2$, мы можем сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Правило сложения дробей с одинаковым знаменателем: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$.

Применим это правило:

$\frac{3x + (5y - 3x)}{y^2}$

Теперь упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$3x + 5y - 3x = (3x - 3x) + 5y = 0 + 5y = 5y$

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{5y}{y^2}$

Далее сократим полученную дробь. Мы можем разделить и числитель, и знаменатель на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{5y}{y^2} = \frac{5 \cdot y}{y \cdot y} = \frac{5}{y}$

Результат упрощения — $\frac{5}{y}$. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $ \frac{7a - 3b}{2a - b} - \frac{a}{2a - b} $?

1) $ \frac{6a + 3b}{2a - b} $

2) $ \frac{8a - 3b}{2a - b} $

3) $ 3 $

4) $ 3a - 3b $

Чтобы найти разность двух алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Дано выражение:

$$ \frac{7a - 3b}{2a - b} - \frac{a}{2a - b} $$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$$ \frac{(7a - 3b) - a}{2a - b} $$

Теперь упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые ($7a$ и $-a$):

$$ \frac{7a - a - 3b}{2a - b} = \frac{6a - 3b}{2a - b} $$

В числителе можно вынести общий множитель 3 за скобки:

$$ \frac{3(2a - b)}{2a - b} $$

Сократим дробь на общий множитель $(2a - b)$, при условии, что $2a - b \neq 0$:

$$ \frac{3\cancel{(2a - b)}}{\cancel{(2a - b)}} = 3 $$

Таким образом, исходное выражение тождественно равно 3. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

3. Упростите выражение:

1) $\frac{3x - 2y}{14xy} + \frac{4x - 19y}{14xy};$

2) $\frac{a^2 + 16}{a - 4} - \frac{8a}{a - 4};$

3) $\frac{4 - m}{m - 3} + \frac{2m - 5}{3 - m};$

4) $\frac{5c - 1}{(c - 2)^2} - \frac{3c + 3}{(2 - c)^2}.$

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{3x - 2y}{14xy} + \frac{4x - 19y}{14xy} = \frac{(3x - 2y) + (4x - 19y)}{14xy}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3x + 4x - 2y - 19y}{14xy} = \frac{7x - 21y}{14xy}$

Вынесем общий множитель 7 в числителе:

$\frac{7(x - 3y)}{14xy}$

Сократим дробь на 7:

$\frac{x - 3y}{2xy}$

Ответ: $\frac{x - 3y}{2xy}$

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{a^2 + 16}{a - 4} - \frac{8a}{a - 4} = \frac{a^2 + 16 - 8a}{a - 4} = \frac{a^2 - 8a + 16}{a - 4}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$\frac{(a - 4)^2}{a - 4}$

Сократим дробь на $(a - 4)$:

$a - 4$

Ответ: $a - 4$

3) Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $3 - m = -(m - 3)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(m - 3)$, изменив знак перед второй дробью и в ее знаменателе.

$\frac{4 - m}{m - 3} + \frac{2m - 5}{3 - m} = \frac{4 - m}{m - 3} - \frac{2m - 5}{m - 3}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(4 - m) - (2m - 5)}{m - 3} = \frac{4 - m - 2m + 5}{m - 3} = \frac{9 - 3m}{m - 3}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(3 - m)}{m - 3}$

Так как $3 - m = -(m - 3)$, можем переписать выражение:

$\frac{-3(m - 3)}{m - 3}$

Сократим дробь на $(m - 3)$:

$-3$

Ответ: $-3$

4) Обратим внимание на знаменатели. Так как $(2 - c)^2 = (-(c - 2))^2 = (c - 2)^2$, знаменатели дробей одинаковы.

$\frac{5c - 1}{(c - 2)^2} - \frac{3c + 3}{(2 - c)^2} = \frac{5c - 1}{(c - 2)^2} - \frac{3c + 3}{(c - 2)^2}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(5c - 1) - (3c + 3)}{(c - 2)^2} = \frac{5c - 1 - 3c - 3}{(c - 2)^2} = \frac{2c - 4}{(c - 2)^2}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(c - 2)}{(c - 2)^2}$

Сократим дробь на $(c - 2)$:

$\frac{2}{c - 2}$

Ответ: $\frac{2}{c - 2}$

4. Найдите все целые значения n, при которых является целым числом значение выражения $ \frac{n^2 + 22}{n} $.

Для того чтобы найти все целые значения n, при которых значение выражения $ \frac{n^2 + 22}{n} $ является целым числом, преобразуем данное выражение. Разделим числитель почленно на знаменатель:

$ \frac{n^2 + 22}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{22}{n} = n + \frac{22}{n} $

По условию, n — целое число. Сумма $ n + \frac{22}{n} $ будет являться целым числом, если второе слагаемое, $ \frac{22}{n} $, также является целым числом, поскольку первое слагаемое n уже целое.

Дробь $ \frac{22}{n} $ будет целым числом в том и только в том случае, когда ее знаменатель n является делителем числителя 22.

Следовательно, нам необходимо найти все целые делители числа 22.

Целыми делителями числа 22 являются: $ 1, -1, 2, -2, 11, -11, 22, -22 $.

Ответ: $ -22, -11, -2, -1, 1, 2, 11, 22 $.