Страница 26 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равна сумма $\frac{4}{b} + \frac{5}{b-c}$?

1) $\frac{9}{b(b-c)}$

2) $\frac{9}{2b-c}$

3) $\frac{9b-4c}{b(b-c)}$

4) $\frac{4+5b}{b(b-c)}$

Чтобы найти сумму дробей $\frac{4}{b} + \frac{5}{b-c}$, необходимо привести их к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — это $b$ и $(b-c)$. Так как у них нет общих множителей, наименьшим общим знаменателем будет их произведение: $b(b-c)$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби $\frac{4}{b}$ дополнительный множитель равен $(b-c)$.
• Для второй дроби $\frac{5}{b-c}$ дополнительный множитель равен $b$.

Теперь умножим числители дробей на их дополнительные множители и сложим полученные выражения под общим знаменателем:

$\frac{4}{b} + \frac{5}{b-c} = \frac{4 \cdot (b-c)}{b(b-c)} + \frac{5 \cdot b}{b(b-c)} = \frac{4(b-c) + 5b}{b(b-c)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4b - 4c + 5b}{b(b-c)} = \frac{(4b + 5b) - 4c}{b(b-c)} = \frac{9b - 4c}{b(b-c)}$

Полученное выражение $\frac{9b - 4c}{b(b-c)}$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $ \frac{m}{n(m+n)} - \frac{n}{m(m+n)} $?

1) $ \frac{1}{m+n} $

2) $ \frac{m+n}{mn} $

3) $ \frac{m-n}{mn} $

4) $ \frac{1}{mn} $

Чтобы найти разность дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Исходное выражение:

$$ \frac{m}{n(m + n)} - \frac{n}{m(m + n)} $$

Знаменатель первой дроби — $n(m + n)$, а второй — $m(m + n)$. Наименьший общий знаменатель для этих дробей — $mn(m + n)$.

Приведём каждую дробь к общему знаменателю. Для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на дополнительный множитель $m$, а второй дроби — на дополнительный множитель $n$:

$$ \frac{m \cdot m}{n(m + n) \cdot m} - \frac{n \cdot n}{m(m + n) \cdot n} = \frac{m^2}{mn(m + n)} - \frac{n^2}{mn(m + n)} $$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$$ \frac{m^2 - n^2}{mn(m + n)} $$

В числителе мы видим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим её:

$$ \frac{(m - n)(m + n)}{mn(m + n)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(m + n)$, который присутствует и в числителе, и в знаменателе:

$$ \frac{m - n}{mn} $$

Полученный результат соответствует выражению, представленному в варианте ответа под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{m-n}{mn}$

3. Упростите выражение:

1) $\frac{4}{7x^3} + \frac{9}{28x^2y^2};$

2) $\frac{1}{6a} - \frac{6a+b}{6ab};$

3) $\frac{3a}{a^2-64b^2} - \frac{3}{a+8b};$

4) $3b + \frac{8a-3b^2}{b}.$

1) Для сложения дробей $\frac{4}{7x^3} + \frac{9}{28x^2y^2}$ необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $7x^3$ и $28x^2y^2$ равен $28x^3y^2$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби это $4y^2$, а для второй — $x$. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и сложим полученные дроби:
$\frac{4 \cdot 4y^2}{7x^3 \cdot 4y^2} + \frac{9 \cdot x}{28x^2y^2 \cdot x} = \frac{16y^2}{28x^3y^2} + \frac{9x}{28x^3y^2} = \frac{16y^2 + 9x}{28x^3y^2}$.
Ответ: $\frac{16y^2 + 9x}{28x^3y^2}$

2) Для упрощения выражения $\frac{1}{6a} - \frac{6a+b}{6ab}$ приведем дроби к общему знаменателю, который равен $6ab$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $b$.
$\frac{1 \cdot b}{6a \cdot b} - \frac{6a+b}{6ab} = \frac{b}{6ab} - \frac{6a+b}{6ab} = \frac{b - (6a+b)}{6ab}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{b - 6a - b}{6ab} = \frac{-6a}{6ab}$.
Сократим дробь на общий множитель $6a$:
$\frac{-1}{b} = -\frac{1}{b}$.
Ответ: $-\frac{1}{b}$

3) Чтобы упростить выражение $\frac{3a}{a^2 - 64b^2} - \frac{3}{a + 8b}$, разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 64b^2 = (a - 8b)(a + 8b)$.
Общий знаменатель для дробей — $(a - 8b)(a + 8b)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a - 8b)$.
$\frac{3a}{(a - 8b)(a + 8b)} - \frac{3(a - 8b)}{(a + 8b)(a - 8b)} = \frac{3a - 3(a - 8b)}{(a - 8b)(a + 8b)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{3a - 3a + 24b}{(a - 8b)(a + 8b)} = \frac{24b}{a^2 - 64b^2}$.
Ответ: $\frac{24b}{a^2 - 64b^2}$

4) Для упрощения выражения $3b + \frac{8a - 3b^2}{b}$ представим $3b$ в виде дроби со знаменателем $b$: $3b = \frac{3b \cdot b}{b} = \frac{3b^2}{b}$.
Теперь сложим дроби:
$\frac{3b^2}{b} + \frac{8a - 3b^2}{b} = \frac{3b^2 + (8a - 3b^2)}{b}$.
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$\frac{3b^2 + 8a - 3b^2}{b} = \frac{8a}{b}$.
Ответ: $\frac{8a}{b}$

4. Найдите значение выражения $\frac{c+3}{c^2-5c} - \frac{c-2}{c^2-10c+25}$, если $c = 45$.

Для нахождения значения выражения целесообразно сначала его упростить, а затем подставить значение переменной.

Исходное выражение:

$$ \frac{c + 3}{c^2 - 5c} - \frac{c - 2}{c^2 - 10c + 25} $$

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби раскладывается вынесением общего множителя за скобки:
$c^2 - 5c = c(c - 5)$.
Знаменатель второй дроби является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$c^2 - 10c + 25 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = (c - 5)^2$.

После разложения знаменателей выражение примет вид:

$$ \frac{c + 3}{c(c - 5)} - \frac{c - 2}{(c - 5)^2} $$

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $c(c - 5)$ и $(c - 5)^2$ это $c(c - 5)^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(c - 5)$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $c$.

$$ \frac{(c + 3)(c - 5)}{c(c - 5)^2} - \frac{c(c - 2)}{c(c - 5)^2} $$

3. Выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем:

$$ \frac{(c + 3)(c - 5) - c(c - 2)}{c(c - 5)^2} $$

4. Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$$ (c + 3)(c - 5) - c(c - 2) = (c^2 - 5c + 3c - 15) - (c^2 - 2c) = c^2 - 2c - 15 - c^2 + 2c = -15 $$

5. После упрощения выражение выглядит так:

$$ \frac{-15}{c(c - 5)^2} $$

6. Теперь подставим значение $c = 45$ в упрощенное выражение:

$$ \frac{-15}{45(45 - 5)^2} = \frac{-15}{45(40)^2} = \frac{-15}{45 \cdot 1600} $$

7. Сократим полученную дробь. Можно сократить числитель -15 и множитель 45 в знаменателе на 15:

$$ \frac{-1}{3 \cdot 1600} = -\frac{1}{4800} $$

Ответ: $-\frac{1}{4800}$