Номер 3, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $\frac{4}{7x^3} + \frac{9}{28x^2y^2};$

2) $\frac{1}{6a} - \frac{6a+b}{6ab};$

3) $\frac{3a}{a^2-64b^2} - \frac{3}{a+8b};$

4) $3b + \frac{8a-3b^2}{b}.$

1) Для сложения дробей $\frac{4}{7x^3} + \frac{9}{28x^2y^2}$ необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $7x^3$ и $28x^2y^2$ равен $28x^3y^2$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби это $4y^2$, а для второй — $x$. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и сложим полученные дроби:
$\frac{4 \cdot 4y^2}{7x^3 \cdot 4y^2} + \frac{9 \cdot x}{28x^2y^2 \cdot x} = \frac{16y^2}{28x^3y^2} + \frac{9x}{28x^3y^2} = \frac{16y^2 + 9x}{28x^3y^2}$.
Ответ: $\frac{16y^2 + 9x}{28x^3y^2}$

2) Для упрощения выражения $\frac{1}{6a} - \frac{6a+b}{6ab}$ приведем дроби к общему знаменателю, который равен $6ab$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $b$.
$\frac{1 \cdot b}{6a \cdot b} - \frac{6a+b}{6ab} = \frac{b}{6ab} - \frac{6a+b}{6ab} = \frac{b - (6a+b)}{6ab}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{b - 6a - b}{6ab} = \frac{-6a}{6ab}$.
Сократим дробь на общий множитель $6a$:
$\frac{-1}{b} = -\frac{1}{b}$.
Ответ: $-\frac{1}{b}$

3) Чтобы упростить выражение $\frac{3a}{a^2 - 64b^2} - \frac{3}{a + 8b}$, разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 64b^2 = (a - 8b)(a + 8b)$.
Общий знаменатель для дробей — $(a - 8b)(a + 8b)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a - 8b)$.
$\frac{3a}{(a - 8b)(a + 8b)} - \frac{3(a - 8b)}{(a + 8b)(a - 8b)} = \frac{3a - 3(a - 8b)}{(a - 8b)(a + 8b)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{3a - 3a + 24b}{(a - 8b)(a + 8b)} = \frac{24b}{a^2 - 64b^2}$.
Ответ: $\frac{24b}{a^2 - 64b^2}$

4) Для упрощения выражения $3b + \frac{8a - 3b^2}{b}$ представим $3b$ в виде дроби со знаменателем $b$: $3b = \frac{3b \cdot b}{b} = \frac{3b^2}{b}$.
Теперь сложим дроби:
$\frac{3b^2}{b} + \frac{8a - 3b^2}{b} = \frac{3b^2 + (8a - 3b^2)}{b}$.
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$\frac{3b^2 + 8a - 3b^2}{b} = \frac{8a}{b}$.
Ответ: $\frac{8a}{b}$