Номер 4, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите значение выражения

$\frac{c - 2}{c^2 - 8c + 16} - \frac{c + 2}{c^2 - 4c}$, если $c = -16$.

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений. Для этого разложим знаменатели дробей на множители.

Знаменатель первой дроби, $c^2 - 8c + 16$, представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$c^2 - 8c + 16 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = (c-4)^2$

Знаменатель второй дроби, $c^2 - 4c$, можно упростить, вынеся общий множитель $c$ за скобки.

$c^2 - 4c = c(c-4)$

Теперь перепишем исходное выражение с разложенными на множители знаменателями:

$\frac{c-2}{(c-4)^2} - \frac{c+2}{c(c-4)}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $(c-4)^2$ и $c(c-4)$ будет $c(c-4)^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $c$, а второй дроби — на $(c-4)$:

$\frac{c(c-2)}{c(c-4)^2} - \frac{(c+2)(c-4)}{c(c-4)^2}$

Теперь можно объединить дроби:

$\frac{c(c-2) - (c+2)(c-4)}{c(c-4)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$c(c-2) = c^2 - 2c$

$(c+2)(c-4) = c^2 - 4c + 2c - 8 = c^2 - 2c - 8$

Подставим раскрытые выражения обратно в числитель и упростим его:

$\frac{(c^2 - 2c) - (c^2 - 2c - 8)}{c(c-4)^2} = \frac{c^2 - 2c - c^2 + 2c + 8}{c(c-4)^2} = \frac{8}{c(c-4)^2}$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него заданное значение $c = -16$:

$\frac{8}{c(c-4)^2} = \frac{8}{-16(-16-4)^2} = \frac{8}{-16(-20)^2}$

Выполним вычисления:

$\frac{8}{-16 \cdot 400} = \frac{8}{-6400}$

Сократим полученную дробь на 8:

$-\frac{8}{6400} = -\frac{1}{800}$

Ответ: $-\frac{1}{800}$