Номер 3, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $24a^4 \cdot \frac{3b^2}{8a^5}$;

2) $\frac{5y}{x - y} \cdot \frac{x^2 - xy}{10y}$;

3) $\frac{4a}{a^2 - 4b^2} \cdot (ab - 2b^2)$;

4) $\left(\frac{x^2}{y}\right)^3 \cdot \left(\frac{y^2}{x^4}\right)^4$;

5) $\frac{5a^3}{b^2} : (15a^2b)$;

6) $\frac{6x - 30}{3x + 5} : \frac{x^2 - 25}{6x + 10}$.

1) Представим $24a^4$ в виде дроби и выполним умножение, сокращая числитель и знаменатель:
$24a^4 \cdot \frac{3b^2}{8a^5} = \frac{24a^4}{1} \cdot \frac{3b^2}{8a^5} = \frac{24a^4 \cdot 3b^2}{8a^5} = \frac{72a^4b^2}{8a^5}$
Сократим числовые коэффициенты (72 и 8) на 8 и степени переменной $a$ ($a^4$ и $a^5$) на $a^4$:
$\frac{9 \cdot 1 \cdot b^2}{1 \cdot a^{5-4}} = \frac{9b^2}{a}$
Ответ: $\frac{9b^2}{a}$

2) Разложим числитель второй дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x^2 - xy = x(x-y)$
Подставим полученное выражение в исходное и выполним умножение, сокращая общие множители:
$\frac{5y}{x - y} \cdot \frac{x(x-y)}{10y} = \frac{5y \cdot x(x-y)}{(x - y) \cdot 10y}$
Сокращаем $(x-y)$, $y$ и числовые коэффициенты 5 и 10:
$\frac{1 \cdot x}{2} = \frac{x}{2}$
Ответ: $\frac{x}{2}$

3) Разложим знаменатель дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а во втором выражении вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$a^2 - 4b^2 = (a-2b)(a+2b)$
$ab - 2b^2 = b(a-2b)$
Подставим разложенные выражения и сократим дробь:
$\frac{4a}{(a-2b)(a+2b)} \cdot (b(a-2b)) = \frac{4a \cdot b(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{4ab}{a+2b}$
Ответ: $\frac{4ab}{a+2b}$

4) Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(\frac{x^2}{y})^3 = \frac{(x^2)^3}{y^3} = \frac{x^6}{y^3}$
$(\frac{y^2}{x^4})^4 = \frac{(y^2)^4}{(x^4)^4} = \frac{y^8}{x^{16}}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{x^6}{y^3} \cdot \frac{y^8}{x^{16}} = \frac{x^6 y^8}{y^3 x^{16}}$
Сократим дроби, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$x^{6-16} \cdot y^{8-3} = x^{-10} y^5 = \frac{y^5}{x^{10}}$
Ответ: $\frac{y^5}{x^{10}}$

5) Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на обратное выражение:
$\frac{5a^3}{b^2} : (15a^2b) = \frac{5a^3}{b^2} \cdot \frac{1}{15a^2b} = \frac{5a^3}{15a^2b^3}$
Сократим числовые коэффициенты (5 и 15) на 5, а также степени переменных $a$ и $b$:
$\frac{a^{3-2}}{3b^3} = \frac{a}{3b^3}$
Ответ: $\frac{a}{3b^3}$

6) Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$\frac{6x - 30}{3x + 5} : \frac{x^2 - 25}{6x + 10} = \frac{6x - 30}{3x + 5} \cdot \frac{6x + 10}{x^2 - 25}$
Разложим числители и знаменатели на множители:
$6x - 30 = 6(x-5)$
$6x + 10 = 2(3x+5)$
$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ (разность квадратов)
Подставим разложенные выражения и сократим общие множители:
$\frac{6(x-5)}{3x+5} \cdot \frac{2(3x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{6 \cdot 2 \cdot (x-5)(3x+5)}{(3x+5)(x-5)(x+5)}$
После сокращения одинаковых множителей $(x-5)$ и $(3x+5)$ получаем:
$\frac{12}{x+5}$
Ответ: $\frac{12}{x+5}$