Номер 4, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите значение выражения $\frac{c+4}{c^2+14c+49} - \frac{c-3}{c^2+7c}$, если $c = 63.$

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него значение $c=63$.

Исходное выражение:

$$ \frac{c+4}{c^2 + 14c + 49} - \frac{c-3}{c^2 + 7c} $$

1. Разложим на множители знаменатели обеих дробей.

Знаменатель первой дроби $c^2 + 14c + 49$ представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$$ c^2 + 2 \cdot c \cdot 7 + 7^2 = (c+7)^2 $$

В знаменателе второй дроби $c^2 + 7c$ вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$$ c^2 + 7c = c(c+7) $$

2. Перепишем выражение с новыми знаменателями:

$$ \frac{c+4}{(c+7)^2} - \frac{c-3}{c(c+7)} $$

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $(c+7)^2$ и $c(c+7)$ это $c(c+7)^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $c$, а второй дроби на $(c+7)$:

$$ \frac{c(c+4)}{c(c+7)^2} - \frac{(c-3)(c+7)}{c(c+7)^2} $$

4. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$$ \frac{c(c+4) - (c-3)(c+7)}{c(c+7)^2} $$

5. Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$$ \frac{c^2 + 4c - (c^2 + 7c - 3c - 21)}{c(c+7)^2} = \frac{c^2 + 4c - (c^2 + 4c - 21)}{c(c+7)^2} $$

$$ \frac{c^2 + 4c - c^2 - 4c + 21}{c(c+7)^2} = \frac{21}{c(c+7)^2} $$

6. Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $c=63$:

$$ \frac{21}{63(63+7)^2} = \frac{21}{63 \cdot (70)^2} = \frac{21}{63 \cdot 4900} $$

7. Сократим полученную дробь. Заметим, что $63 = 3 \cdot 21$.

$$ \frac{21}{3 \cdot 21 \cdot 4900} = \frac{1}{3 \cdot 4900} = \frac{1}{14700} $$

Ответ: $ \frac{1}{14700} $