Номер 3, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $\frac{9a}{8b} - \frac{81a^2 + 64b^2}{72ab} + \frac{8b - 3a}{9a};$

2) $\frac{45}{9a - a^2} - \frac{5}{a};$

3) $\frac{3}{2x - 6} + \frac{x^2 - x - 15}{x^2 - 9} - 1;$

4) $1 - \frac{1 - 2m}{m^3 + 1} - \frac{m}{m + 1}.$

1) $\frac{9a}{8b} - \frac{81a^2 + 64b^2}{72ab} + \frac{8b - 3a}{9a}$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $8b$, $72ab$, $9a$. Наименьший общий знаменатель для них будет $72ab$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
- для первой дроби $\frac{9a}{8b}$ дополнительный множитель: $\frac{72ab}{8b} = 9a$
- для второй дроби $\frac{81a^2 + 64b^2}{72ab}$ дополнительный множитель: $\frac{72ab}{72ab} = 1$
- для третьей дроби $\frac{8b - 3a}{9a}$ дополнительный множитель: $\frac{72ab}{9a} = 8b$

Теперь выполним преобразование выражения:

$\frac{9a \cdot 9a}{72ab} - \frac{1 \cdot (81a^2 + 64b^2)}{72ab} + \frac{(8b - 3a) \cdot 8b}{72ab} = \frac{81a^2 - (81a^2 + 64b^2) + (64b^2 - 24ab)}{72ab}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{81a^2 - 81a^2 - 64b^2 + 64b^2 - 24ab}{72ab}$

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(81a^2 - 81a^2) + (-64b^2 + 64b^2) - 24ab}{72ab} = \frac{-24ab}{72ab}$

Сократим дробь:

$\frac{-24ab}{72ab} = -\frac{24}{72} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

2) $\frac{45}{9a - a^2} - \frac{5}{a}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $9a - a^2 = a(9-a)$.

Выражение примет вид: $\frac{45}{a(9 - a)} - \frac{5}{a}$

Общий знаменатель для дробей $a(9-a)$ и $a$ будет $a(9-a)$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $9-a$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{45}{a(9 - a)} - \frac{5 \cdot (9-a)}{a(9 - a)} = \frac{45 - 5(9-a)}{a(9-a)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{45 - 45 + 5a}{a(9-a)} = \frac{5a}{a(9-a)}$

Сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{5}{9-a}$

Ответ: $\frac{5}{9-a}$

3) $\frac{3}{2x - 6} + \frac{x^2 - x - 15}{x^2 - 9} - 1$

Разложим на множители знаменатели дробей:
$2x - 6 = 2(x - 3)$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ (формула разности квадратов)

Перепишем выражение: $\frac{3}{2(x - 3)} + \frac{x^2 - x - 15}{(x - 3)(x + 3)} - 1$

Общий знаменатель для всех слагаемых: $2(x - 3)(x + 3)$.

Найдем дополнительные множители:
- для первой дроби: $x + 3$
- для второй дроби: $2$
- для $-1$: $2(x - 3)(x + 3) = 2(x^2 - 9)$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3(x+3) + 2(x^2 - x - 15) - 2(x - 3)(x + 3)}{2(x - 3)(x + 3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3x + 9 + 2x^2 - 2x - 30 - 2(x^2 - 9)}{2(x - 3)(x + 3)} = \frac{3x + 9 + 2x^2 - 2x - 30 - 2x^2 + 18}{2(x - 3)(x + 3)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2x^2 - 2x^2) + (3x - 2x) + (9 - 30 + 18)}{2(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 3}{2(x - 3)(x + 3)}$

Сократим дробь на $(x-3)$ (при условии, что $x \neq 3$):

$\frac{1}{2(x + 3)}$

Ответ: $\frac{1}{2(x + 3)}$

4) $1 - \frac{1 - 2m}{m^3 + 1} - \frac{m}{m + 1}$

Разложим знаменатель $m^3 + 1$ по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$m^3 + 1 = (m + 1)(m^2 - m + 1)$

Перепишем выражение: $1 - \frac{1 - 2m}{(m + 1)(m^2 - m + 1)} - \frac{m}{m + 1}$

Общий знаменатель: $(m + 1)(m^2 - m + 1)$, что равно $m^3+1$.

Найдем дополнительные множители:
- для $1$: $m^3 + 1$
- для второй дроби: $1$
- для третьей дроби: $m^2 - m + 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (m^3 + 1) - (1 - 2m) - m(m^2 - m + 1)}{m^3 + 1}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{m^3 + 1 - 1 + 2m - (m^3 - m^2 + m)}{m^3 + 1} = \frac{m^3 + 1 - 1 + 2m - m^3 + m^2 - m}{m^3 + 1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(m^3 - m^3) + m^2 + (2m - m) + (1 - 1)}{m^3 + 1} = \frac{m^2 + m}{m^3 + 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

$\frac{m(m + 1)}{(m + 1)(m^2 - m + 1)}$

Сократим на $(m+1)$ (при условии, что $m \neq -1$):

$\frac{m}{m^2 - m + 1}$

Ответ: $\frac{m}{m^2 - m + 1}$